Seite a oder Höhe bei der Pyramide bestimmen, wenn Oberfläche und Volumen gegeben sind

Question

ich habe den Rechner für quadratische Pyramiden so gut wie fertiggestellt. Es sind stets nur 2 Werte anzugeben, alle anderen werden berechnet: https://www.matheretter.de/rechner/pyramide

Einziges Problem, das es noch zu lösen gilt: Es sind noch Seite a und/oder die Höhe zu berechnen, sofern nur Oberfläche und Volumen der Pyramide gegeben sind.

Bekannte Formeln:

Oberfläche = Grundfläche + Mantelfläche → O = a² + 2·a·h_a

Volumen = ¹/₃ · Grundfläche · Höhe → V = ¹/₃·a²·h

Zusätzlich wissen wir:

Höhe a: h_a = √(h² + (^a/₂)²)

Wenn jemand eine Eingebung hat, lasst es mich bitte wissen, damit das Programm fertig wird =)

Answer 1

Wie sehr es doch hilft, wenn man manchmal sein Problem als Frage stellt.

Ich denke, ich habe es:

1. V-Formel umstellen nach h

2. h in h_a-Formel einsetzen

3. h_a einsetzen in O:

O = a² + 2*a*√((3V/a²)²+(a/2)²)

Das muss man noch nach a umstellen, hier hilft netterweise Wolframalpha. Seite a ergibt sich damit aus:

a_1,2 = ± 1/2 * √(O - √(O*(O³ - 288*V²)) / O )
a_3,4 = ± 1/2 * √(O + √(O*(O³ - 288*V²)) / O )

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Nachtrag:

Soeben eingebaut, funktioniert und wir erhalten 2 positive Ergebnisse: https://www.matheretter.de/rechner/pyramide?o=44,844&v=16