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Thema Geometrie: Berechne hs, h und V einer quadratischen Pyramide mit Oberfläche 39,2 cm²

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Berechne hs, h und V einer quadratischen Pyramide mit einer Oberfläche von 39,2 cm² und einer Grundkante von 3,0 cm.

Hilfeeee...! Verzweiflung macht sich breit .. oh je oh je. 

Gefragt 11 Mär 2013 von Anes

Wir hatten vor kurzem eine ähnliche Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/16045/ist-formel-berechnung-der-hohe-einer-quadratischen-pyramide

Versuche mal hier deine Werte einzusetzten (Kommentare beachten)...

Das Volumen fehlt aber noch... dafür ist die Formel a2 * h /3, wobei a die Grundseite ist....

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Hier noch als Ergänzung zu Akeleis Rechnung die allgemeine Lösung - alle gesuchten Größen in Abhängigkeit der bekannten Größen. Die Lösungen findest du auch hier: Pyramide online berechnen.

 

G - Grundfläche       // das ist hier die Fläche des Quadrats
M - Mantel                 // das ist die Summe der Fläche der vier Dreiecke
O - Oberfläche         // das ist die Summe aus Mantel und Grundfläche
a - Grundseite         // Grundseite, alle vier Seiten sind gleichlang da die Grundfläche ein Quadrat ist
hs- Höhe auf a         // ist die Höhe im Seitendreieck auf die Grundseite;
                                      ist in jedem der vier Dreiecke gleich, wenn h auf dem Schwerpunkt des Quadrates steht
h - Höhe                    // Höhe der Pyramide
V - Volumen              // das Volumen der Pyramide
FD                              // Fläche eines der vier Dreiecke, die die Pyramide bilden

FΔ- Dreiecksfläche (allgemein, nicht speziell auf die Pyramide bezogen)
gΔ- Grundseite eines Dreiecks
hΔ- Höhe auf die Grundseite gΔ des allgemeinen Dreiecks
 

Quadratische Pyramide

Skizze: Quadratische Paramide (Ecken mit Punkt: rechte Winkel; grün: Höhe der Pyramide; rot: hs)

 

Grundlegende Gleichungen:

Volumen einer Pyramide:
[1]   V = 1/3 * h * G

Oberfläche einer Paramide:
[2]   O = M + G

Fläche eines Dreiecks:
[3]   FΔ = 1/2 * gΔ * hΔ

Satz des Pythagoras:
[4]   u^2 + v^2 = w^2

 

Gegeben, damit bekannt:
O = 39,2 cm   // bekannte Größen sind durch Fettdruck gekennzeichnet
a = 3,0 cm

 

Berechnungen:

Berechnung von hs:
G = a^2
M = O - G = O - a^2   // siehe [2]
M = 4 * FD       // alle vier Dreiecksfläcnen zusammen ergeben die Mantelfläche
FD= M / 4
FD= hs * a/2   // siehe [3]; ausführlicher: FD= 2 * ( 1/2 * hs * a/2)
M / 4 = hs * a/2
hs= M / (2a) = (O - a^2) / (2 * a)

Berechnung von h:
h2s = (a/2)2 + h^2  // siehe [4]
h = sqrt( h2s - (a/2)2 )
h = sqrt(  ( (O - a^2)/(2a) )^2 - a^2/4  )

Berechnung von V:
V = a^2/3 * sqrt(  ( (O - a^2)/(2a) )^2 - a^2/4  )   // siehe [1]

 

Beantwortet 12 Mär 2013 von Johann Ribert Experte IV
+1 Punkt

 gegeben ist a= 3cm und O=39,2cm,

G= a² =9cm²

M=O-G =39,2-9  =30,2cm²

eine Seitenfläche besteht aus  4 gleichschenklicgen Dreiecken

M/4=30,2/4=7,55cm²

Die Höhe im Dreieck ist  h  7,55/ 1,5=5,0333 cm

dan ist die Höhe der Pyramide:

h=√(5,0333²-1,5²) ≅4,8 cm

daraus kann man nun das Volumen berechnen

V= 1/3 *G*h

V=1/3 *9* 4,8≅14,41 cm³

 

Beantwortet 11 Mär 2013 von Akelei Experte XIX

Wie kommst du auf 1,5?

a/2= 1,5 denn a= 3

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