Ableitungen zu verschiedenen Funktionen. Bsp: f(x) = xe^{-ax}

Question

ich brauche Hilfe beim Ableiten.

          f(x) = cos x  

          f(x) = xe^-ax   

(Ist ''e'' hier einfach eine Variabel wie ''a'' oder ist das ''e'' hier dieses komische ''e'' womit man  irgendwas berechnet was hochgestellt ist.)

          f(x) = a · √( 1 + bx⁴ )

Comments

Da "komische" e ist die Eulersche Zahl. Zu Deinen Ableitungen: Wenn die Aufgaben aus der Schulmathemtik stammen, werden die Ableitungen von Sinus und Kosinus meist nicht wirklich berechnet, sondern ohne Herleitung als Faktenwissen gelehrt.

Die beiden funktionen bilden eine Ableitungskette:

sin → cos → −sin → −cos → sin → ...

Nach vier Schritten wiederholt sie sich also.

Für die anderen Funktionen werden Produkt- und Kettenregel benötigt.

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So ist das wenn das abi vier jahre her ist... euscherische zahl! genau ;)

Answer 1

f(x) = cos x  

f ' (x) = -sin(x)

f(x) = xe^-ax    

Kombiniere Produkt- und Kettenregel. 

Beachte (e^x)' = e^x. Wegen Kettenregel: (e^{-ax})' = e^{-ax} * (-a).

Nun

f(x) = x*e^{-ax}           |Produktregel

f ' (x) = 1*e^{-ax}  + x* e^{-ax} * (-a)

= e^{-ax} - ax*e^{-ax}

= (1-ax)*e^{-ax}

Comments

Innere Funktion 1 + bx^4 hat die Ableitung 4bx^3.

f(x) = a · √( 1 + bx⁴ )          | vgl. Potenzgesetze!

= a (1 + bx^4)^{0.5}           | Kettenregel

f ' (x) = a* (1+bx^4)^{-0.5} * 4bx^3      | Potenzengesetze

= (4abx^3)/ √(1+bx^4) 

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Die Produktregel wendet man doch an wenn man zwei Funktionen hat die multipliziert werden. Welche sind die zwei Funktionen bei f(x) = x e^-ax ?

Sind es ''x'' und ''e^-ax'', weshalb ''x'' verschwindet bzw. zu 1 ''wird''?

Wenn man e^-ax ableitet kommt man zu ( -ax · e^{- ax -1} ). Wie kommt man zu (1-ax) · e^-ax ?

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Du hast die Kettenregel nicht richtig angewendet:

Es muss heißen: Wenn man e^-ax ableitet kommt zu -a·e^-ax

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Sind es ''x'' und ''e^-ax'', weshalb ''x'' verschwindet bzw. zu 1 ''wird''? 

Richtig!

 x* e^-ax * (-a)       | Multiplikation ist kommutativ.

= (-a)*x*e^{-ax}    | erste Klammer und Mult.-zeichen weglassen

= -ax*e^{-ax}

Wie kommt man zu (1-ax) · e^-ax 

Man klammert e^{-ax} aus analog zu (m + 3m) = (1+3)m = 4m

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hh180: Geraldinchen hatte das x aus der Produktregel in meiner Rechnung . Dort braucht man das.

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Das tut mir leid ich verstehe es immer noch nicht. Könnte es mir jemand noch einmal GAANZ genau erklären?

= (-a)*x*e^-ax    | erste Klammer und Mult.-zeichen weglassen

Warum ist den da jetzt ein x in der Mitte wenn das x doch zu 1 wird und verschwindet?

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Geraldinchen: Wie lautet die Produktregel?

(uv)' = u' * v + u * v'.

Im 2. Summanden ist das u=x noch dabei!

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Aaaah!

x · e ^-ax   produktregel

1 · e ^-ax + x · -a ·e^-ax

aber was wird dann aus e ^-ax · e ^-ax ?

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Nochmals:

1 · e ^-ax + x · -a ·e^-ax 

Daraus wird in einem Schritt direkt:

(1-ax)*e^{-ax}

Genau so wie

1 · m + x · -a ·m

= (1-ax)m 

Da kommt es auch nicht zu m*m = m^2. Also nirgends kommt es zu e^{-ax} * e^{-ax}

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Okay, darüber muss ich noch einbisschen nachdenken.

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Viel Erfolg beim Denken! Schau dir vielleicht mal noch das Video zum Distributivgesetz an: https://www.matheretter.de/wiki/distributivgesetz

Das hilft bestimmt auf die Sprünge!