In einem Dreieck sind von den Größen a, b, c, α, β und γ jeweils drei gegeben. Berechnen Sie die übrigen.

Question

In einem Dreieck sind von den Größen \( a, b, c, \alpha, \beta \) und \( \gamma \) jeweils drei gegeben. Berechnen Sie die übrigen.

	\( \mathrm{a} \)	\( \mathrm{b} \)	\( \mathrm{c} \)	\( \alpha \)	\( \beta \)	\( \gamma \)
\( (1) \)		\( 11 \mathrm{~m} \)	\( 10 \mathrm{~m} \)		\( 65° \)
\( (2) \)	\( 7 \mathrm{~cm} \)	\( 8 \mathrm{~cm} \)	\( 9 \mathrm{~cm} \)
\( (3) \)	\( 4,5 \mathrm{~cm} \)	\( 7,2 \mathrm{~cm} \)				\( 53° \)
\( (4) \)			\( 12 \mathrm{~cm} \)	\( 43° \)	\( 86° \)

Comments

Mit dem Sinussatz:

\( \frac{a}{\sin(α)}=\frac{b}{\sin(β)}=\frac{c}{\sin(γ)} \)

(1) mit  b=11m, c=10m und β=65°

\( \frac{a}{\sin(α)}=\frac{11}{\sin(65°)}=\frac{10}{\sin(γ)} \)

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Planfigur:

(2)

Kreis um A(0|0) mit r=8:

\(x^2+y^2=64\)     →    \(y^2=64-x^2\)

Kreis um B(9|0) mit r=7:

\((x-9)^2+y^2=49\)  → \((x-9)^2+64-x^2=49\)

\(x^2-18x+81+64-x^2=49\) →\(18x=96\)→\(x=\frac{16}{3}\)

\( \cos(α)=\frac{16}{8\cdot3}=\frac{2}{3}\).

\( α≈48,1896°\)

Berechnung von β:

\( \cos (β)=\frac{9-\frac{16}{3}}{7}=\frac{11}{21}\)

\(β≈58,412°\)

Berechnung von γ: Über die Winkelsumme im Dreieck