Mengen und Abbildungen: zu einer Teilmenge N´ ⊂ N bezeichne f^{-1}(N´) = {m ∈ M | f(m) ∈ N´} das Urbild von N´ unter f.

Question

Gegeben sei eine Abbildung f : M → N von Mengen M und N. Zu einer Teilmenge M´ ⊂ M bezeichne

f(M´) = {n ∈ N| es gibt (mindestens) ein m´ ∈ M´ mit f(m´) = n}

das Bild von M´ unter f; zu einer Teilmenge N´ ⊂ N bezeichne

f^-1(N´) = {m ∈ M | f(m) ∈ N´}

das Urbild von N´ unter f. Man zeige:

(a) Sind N₁, N₂ zwei Teilmengen von N, so gilt 

f^-1(N₁ ∪ N₂) = f^-1(N₁) ∪ f^-1 (N₂) und f^-1 (N₁ ∩ N₂) = f^-1(N₁) ∩ f^-1 (N₂).

(b) Sind M₁, M₂ zwei Teilmengen von M, so gilt

f(M₁ ∪ M₂ = f(M₁) ∪ f(M₂) und f(M₁ ∩ M₂) ⊂ f(M₁) ∩ f(M₂).

Finden Sie ein Beispiel, in dem f(M₁∩ M₂) ≠ f(M₁) ∩ f(M₂) gilt!