Differentialgleichung mit Störfunktionen lösen

Question

Wie löse ich diese Differentialgleichung mit den Störfunktionen a) und b)?

\( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=s(x) \)

a) \( S(x)=e^{-x} \sin (2 x) \)

b) \( s(x)=3-e^{-x} \)

Comments

Hast Du denn die Lösung der homogenen DGL ohne die Störfunktionen schon ermittelt ?

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Ja die habe ich, aber ich komme nicht auf eine Lösung mit dem dazugehörigen Störglied

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Und wie lautet die Gleichung ?

Und dann mach die 1. und 2. Ableitung dazu.

Answer 1

die homogene Lösung lautet

y_h = c₁*e^{-x} + c₂*x*e^{-x}

Für den Rest würde ich nen Ansatz der rechten Seite wählen.

a) y = e^{-x}(a*sin(2x)+b*(cos(2x))

Das zweimal ableiten und in die DGL selbst einsetzen. Dann nen Koeffizientenvergleich. Du solltest auf y_p = -1/4*e^{-x}*sin(2x) kommen.

b) Hier haben wir nen Resonanzfall vorliegen. Der Ansatz lautet:

y = a + b*x^2*e^{-x}

(Du kannst das auch summandenweise abhandeln -> Superpositionsprinzip)

Ich komme auf y_p = 3-1/2*x^2*e^{-x}

Grüße

Comments

Erst mal Danke für deine Antwort auf die a) komme ich aber bei der b) ich weiß nicht ob da der Ansatz stimmt. Ich hoffe man kann erkennen was ich da gerechnet habe. Ich komme leider nicht auf a und b.

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Sieht doch in der vorletzen Zeile ganz gut aus. Vergleiche die Koeffizieten.

Da siehst Du:

a = 3

2b = -1  --> b = -1/2

Und damit genau das, was ich schon angekündigt hatte^^.