Zeigen Sie, dass die Folge (an) n ∈ N mit a1 = 1/4
und an+1 = a2n+a1 für n >= 1 monoton und beschränkt ist, und bestimme den Grenzwert.
Hat wer einen Ansatz hier zu und kann mir das erklären?
(1) Lt. Voraussetzung gilt a1≥14a_1\ge\frac14a1≥41. Es folgt für alle n∈Nn\in\mathbb Nn∈N(an−12)2−14+a1≥0\left(a_n-\frac12\right)^2-\frac14+a_1\ge0(an−21)2−41+a1≥0⇔an2−an+a1≥0\Leftrightarrow a_n^2-a_n+a_1\ge0⇔an2−an+a1≥0⇔an+1≥an.\Leftrightarrow a_{n+1}\ge a_n.⇔an+1≥an.Die Folge ist also monoton steigend.(2) Zeige per Induktion über nnn, dass an<12a_n<\frac12an<21 für alle nnn gilt.Induktionsanfang: Klar für n=1n=1n=1.Induktionsschritt: Zeige, dass die Behauptung für n+1n+1n+1 gilt, falls die für nnn gilt.an+1=an2+a1<(12)2+14=12.a_{n+1}=a_n^2+a_1<\left(\frac12\right)^2+\frac14=\frac12.an+1=an2+a1<(21)2+41=21.Die Folge ist also nach oben durch 12\frac1221 beschränkt.(3) Die Folge ist monoton steigend und nach oben beschränkt, also konvergent. Der Grenzwert ggg berechnet sich ausg=limn→∞an=limn→∞an+1.g=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.g=n→∞liman=n→∞liman+1.
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