Ist die Folge monoton fallend? Untersuchung auf Monotonie an:=(n^2 -1)/(n+1)!

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( \quad a_{n}:=\frac{n^{2}-1}{(n+1) !} \quad \) streng monoton fallend ist.

(b) Untersuchen Sie die Monotonie der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) mit

\( a_{n}:=\left\{\begin{array}{ll} \frac{5}{(n-1)^{2}} & , & n \in\left\{2 k \mid k \in \mathbb{N}_{0}\right\} \\ \frac{2}{(n+1)^{2}} & , & n \in\left\{2 k+1 \mid k \in \mathbb{N}_{0}\right\} \end{array}\right. \)

(c) Weisen Sie nach, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( \quad a_{n}:=(-1)^{n} \cdot \frac{n+1}{2 n+1} \quad \) beschränkt ist, und geben Sie eine Schranke für die Folge an. Geben Sie außerdem Infimum und Supremum der Menge \( Z=\left\{a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\} \) an.

(Hinweis: Es genügt in allen Teilaufgaben ausdrücklich nicht, ein paar Folgenglieder auszurechnen!)

Comments

Tipp zu a) Versuche zu zeigen, dass allgemein a_k-1 > a_k gilt.

an kann man kürzen:

an = (n^2-1) / (n+1)! = (n+1)(n-1)/ (n!(n+1)) = (n-1)/n!

Answer 1

(a)

an = (n^2 - 1)/(n + 1)!

a1 = 0
a2 = 1/2
a3 = 1/3

Damit ist schon widerlegt das sie streng monoton fallend ist. Für n > 1 ist sie aber streng monoton fallend. Das kann man über den Quotienten nachweisen.

an+1 / an = ((n + 1)^2 - 1)/((n + 1) + 1)! / ((n^2 - 1)/(n + 1)!) = n/((n + 1)·(n - 1)) = n/(n^2 - 1)

n/(n^2 - 1) < 1
n > √5/2 + 1/2
n > 1.618033988