Es sei n ∈ ℕ und A, B seien quadratische (n × n)-Matrizen, für die AB = BA gilt.

Question

Es sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( A, B \) seien quadratische \( (n \times n) \)-Matrizen, für die \( A B=B A \) gilt.

Zeigen Sie, dass für alle \( r, s \in \mathrm{N} \) gilt:

\( A^{r} B^{s}=B^{s} A^{r} \)

Answer 1

Hi,

$$ A^rB^s=\underbrace{A \ldots A}_{r-mal} \cdot \underbrace{B \ldots B}_{s-mal}= \underbrace{A \ldots A}_{(r-1)-mal}\cdot B \cdot A \cdot\underbrace{B \ldots B}_{(s-1)-mal}= $$
$$ B\cdot \underbrace{A \ldots A}_{(r-1)-mal}\cdot \underbrace{B \ldots B}_{(s-1)-mal}\cdot A=BA^{r-1}B^{s-1}A $$
Weil \( AB=BA \) gilt.

Dieser Schritt kann jetzt solange wiederholt werden bis übrig bleibt
$$ B^sA^r $$ und das wolltest Du beweisen.