Beweis von |A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|

Question

Beweisen sie mit Hilfe der Formel für  |A∪B| und der Assoziativ-, Kommutativ-, Idempotenz- und Distributivgesetze die Anzahlformel für drei endliche Mengen A,B,C.

Bei jedem Umformungsschritt sind alle verwendeten Gesetze anzugeben.

|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|

Bitte um eine Antwort!

Vielen Dank

Lukas

Comments

Wie lautet die erwähnte Formel exakt und was genau besagen die Gesetze?

Darum geht es und nicht nur um die Lösung der Aufgabe!

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Also die Formel lautet exakt:

|A∪B| = |A|+|B|-|A∩B|

Und die Gesetze besagen folgendes:

Kommutativgesetz: A∪B = B∪A

Assoziativgesetz: A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

Idempotenzgesetz: A∪A = A

Distributivgesetz: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(B∩C)

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sehr gut!

jetzt brauchst du nur noch zu tüfteln, wo welche Kömponente passt ...

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Das habe ich schon versucht und bin auf keine sinnvolle Lösung gekommen.
Zum Beispiel könnte man die oberste Formel anwenden, aber dann weiß ich zum Beispiel schon nicht mehr weiter. Ich weiß nämlich nicht was ich machen darf und was nicht und ich sehe es auch nicht darin. Bitte hilf mir doch und zeig mir in welcher Reihenfolge ich welche Gesetze verwenden muss um den Beweis zu erbringen!

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Impotenzgesetz:$$ |A∪B∪C| =|A∪B∪C| +|A∪B∪C| +|A∪B∪C|  $$
Asozialgesetz:$$ |A∪B∪C| =|A∪(B∪C)| +|(A∪B)∪C| +|B∪(A∪C)|  $$
Wunderformel mit anderen Buchstaben, um Vermeidungen zu verwechseln:$$|x∪y| = |x|+|y|-|x∩y| $$
und diese nun jeweils auf die drei "Summanden" anwenden.
Gut konzentrieren dabei !

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Gut konzentrieren dabei !

Am besten schon vorher

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Vom Duplikat:

Titel: Endliche Mengen: Beweise, dass gilt |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|

Stichworte: endliche,mengen,mengenlehre,beweis

Seien A, B, C beliegibge endliche Mengen. Beweisen Sie, dass gilt:

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|

Hinweis: Sie können folgenden Gleichung verwenden:

|P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q|

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Sie können folgenden Gleichung verwenden:

|P∪Q|=|P|+|Q|−|P∩Q| 

Dann verwende sie doch. Setze P = A und Q = B ∪ C.

Answer 1

|A∪B∪C| =

Denk dir mal A∪B als eine Menge und C als die zweite, dann sagt deine Formel

= |A∪B| +|C|  -  |  (A∪B)∩C|   Jetzt wieder die Formel gibt

= |A|+|B|-|A∩B| +|C|  -  |  (A∪B)∩C|

= |A|+|B|-|A∩B| +|C|  - |(A∩C) ∪ ( B∩C) |

  Jetzt im hinteren Teil die Formel für die beiden Mengen (A∩C) und ( B∩C) anwenden:

= |A|+|B|-|A∩B| +|C|  - (  |A∩C| + |B∩C|    -  |(A∩C) ∩ ( B∩C)| )

= |A|+|B|-|A∩B| +|C|  -  |A∩C| - |B∩C|    + |(A∩C) ∩ ( B∩C)|

Jetzt neu ordnen und bedenken:  (A∩C) ∩ ( B∩C) = (A∩ B∩C).

Dann ist es fertig

|A∪B| = |A|+|B|-|A∩B|

al |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|

Answer 2

|A∪B∪C| = |(A∪B)∪C| = |A∪B|+|C|−|(A∪B)∩C| und (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C).