Injektivität und Surjektivität von Abbildungen: f 1: ℝ^2 ↦ ℝ^2 , (x,y) ↦ (y, x+y)

Question

Hey

ich soll im folgenden Beispiel die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität überprüfen und habe da einige Schwierigkeiten

Beispiel:    f 1: ℝ² ↦ ℝ²   , (x,y) ↦ (y, x+y)

Bin da wie folgt drangegangen, bin mir aber unsicher ob das so passt.

Injektivität:

Zuerst hab ich die Abbildung in folgende Teile aufgeteilt

f(x) = y         sowie  f(y) = x+y

y = y´ ist also injektiv da für jedes y höchstens ein x vorhanden ist

so ist auch  x+y = x´+ y´ injektiv

Surjektivität:

Denke sie ist auch surjektiv da für alle f(x) es mindestens ein x gibt

wollte das mit dem Urbild zeigen bin mir aber relativ unsicher ob das so funktioniert

wir haben ja schon f(x) = y und f (y) = x+y

nun hab ich f(x) = u und f(y) = z genannt und folgendes bekommen

u = y und z = x+y

z = x+y wollte ich nun nach y umstellen und dann in u = y einsetzen

z = x+y  <=> y = -x+z

somit ist u = -x+z . Jetzt nur noch nach x auflösen -> x= z-u

somit bekomme ich ƒ‾¹(x,y) = (u-z) und dies ist nichts weiteres als ƒ‾¹(x,y)=(y-(x+y) ) also ƒ‾¹(x,y) = ( -x )

somit ist die funktion in ℝ auch surjektiv ?!

Bin mir bei der ganzen Sache echt unsicher und würde mich über Hilfe freuen :D

Answer 1

deine rangehensweise scheint ein wenig kompliziert zu sein, und dass du die Abbildung in 2 Abbildungen aufteilst die beide f sind .... na ich weiß nicht ob das so als Lösung akzeptiert werden würde.

Dir macht anscheinend ein wenig zu schaffen, dass du hier keine Funktion mehr mit einr Variable hast, dabei ist das Vorgehen gar nicht so unterschiedlich.

Für die Injektivität

schau dir 2 Punkte im \( \mathbb{R}^2 \) an. (x,y) und (u,v), Diese Punkte sind verschieden wenn mindestens eine der Komponenten verschieden sind also wenn \( x \neq u \) oder \( y \neq v\) ist.

Jetzt überprüfst du ob \( f(x,y) = (y, x+y)  \neq (v, u+v) = f(u,v) \) für beide Fälle.

Was die Surjektivität betrifft bist du eigentlich schon auf dem richtigen Weg denke ich (jedenfalls vom Gedankengang) ich würds aber versuchen ein wenig mehr zu strukturieren.

Die Frage ist ja ob für alle Punkte \( (s,t) \in \mathbb{R}^2 \) das Urbild \( f^{-1}(s,t) \) nicht leer ist . Dafür betrachte dir einfach den Punkt \( (t-s, t) \in \mathbb{R}^2 \) und \( f(t-s,s) \).

Gruß