Beweisen Sie, dass die Menge der 2×2 Matrizen ein Ring ist

Question

Aufgabe a:

Sei K ein Ring. Beweisen Sie, dass die Menge der 2×2 Matrizen mit Elementen aus K (bezeichnet als M(2,K)) zusammen mit der definierten (s.u.) Addition und Multiplikation ebenfalls ein Ring ist.

Definition 9.1 .1
Eine nicht-leere Menge \( K \) zusammen mit zwei Verknüpfungen \( + \) und \( · \) heißt Ring, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
A1. \( a+(b+c)=(a+b)+c \) für alle \( a, b, c \in K \)
A2. Es gibt ein Element 0 \( \in K \) mit 0 \( +a=a+0=a \) für alle \( a \in K \)
A3. Für jedes \( a \in K \) existiert ein \( b \in K, \) so dass \( a+b=b+a=0 \) gilt. (Das Element b wird als \( -a \) bezeichnet.)
A4. \( a+b=b+a \) für alle \( a, b \in K \)
M1. \( (a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) \) für alle \( a, b, c \in K( \) Assoziativität)
D1. \( c \cdot(a+b)=c \cdot a+c \cdot b \) für alle \( a, b, c \in K \) (linkes Distributivgesetz).
D2. \( (a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot d \) für alle \( a, b, c \in K \) (rechtes Distributivgesetz).

Aufgabe b:

Sei \( K \neq\{0\} . \) Finden Sie zwei Matrizen \( A, B \in M(2, K), \) bei denen kein Eintrag gleich 0 ist, mit
$$ A \cdot B=\left(\begin{array}{ll} {0} & {0} \\ {0} & {0} \end{array}\right) $$

Comments

Mal ein Versuch für b):

b) ((1,-1)(-1,1)) * ((1,1)(1,1)) = ((0,0)(0,0))

Answer 1

Die Matrix-Addition ist ja einfach die Addition der Elemente. Es muss also bespw. gezeigt werden, dass a₁+ (a₂ + a₃ ) = (a₁ + a₂ )+ a₃.

Aber gilt das nicht sowieso, weil die Elemente aus dem Ring K stammen?

Das Nullelement ist die 2x2 Matrix, die aus den Nullelementen aus K besteht.

Analog ließe sich eigentlich zeigen, dass alle Bedingungen erfüllt sind. Ist das so zulässig?