Aufgabe a:
Sei K ein Ring. Beweisen Sie, dass die Menge der 2×2 Matrizen mit Elementen aus K (bezeichnet als M(2,K)) zusammen mit der definierten (s.u.) Addition und Multiplikation ebenfalls ein Ring ist.
Definition 9.1 .1
Eine nicht-leere Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und · heißt Ring, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
A1. a+(b+c)=(a+b)+c für alle a,b,c∈K
A2. Es gibt ein Element 0 ∈K mit 0 +a=a+0=a für alle a∈K
A3. Für jedes a∈K existiert ein b∈K, so dass a+b=b+a=0 gilt. (Das Element b wird als −a bezeichnet.)
A4. a+b=b+a für alle a,b∈K
M1. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) für alle a,b,c∈K( Assoziativität)
D1. c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b für alle a,b,c∈K (linkes Distributivgesetz).
D2. (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅d für alle a,b,c∈K (rechtes Distributivgesetz).
Aufgabe b:
Sei K={0}. Finden Sie zwei Matrizen A,B∈M(2,K), bei denen kein Eintrag gleich 0 ist, mit
A⋅B=(0000)