+1 Daumen
3,1k Aufrufe

Aufgabe a:

Sei K ein Ring. Beweisen Sie, dass die Menge der 2×2 Matrizen mit Elementen aus K (bezeichnet als M(2,K)) zusammen mit der definierten (s.u.) Addition und Multiplikation ebenfalls ein Ring ist.

Definition 9.1 .1
Eine nicht-leere Menge K K zusammen mit zwei Verknüpfungen + + und  ·  · heißt Ring, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
A1. a+(b+c)=(a+b)+c a+(b+c)=(a+b)+c für alle a,b,cK a, b, c \in K
A2. Es gibt ein Element 0 K \in K mit 0 +a=a+0=a +a=a+0=a für alle aK a \in K
A3. Für jedes aK a \in K existiert ein bK, b \in K, so dass a+b=b+a=0 a+b=b+a=0 gilt. (Das Element b wird als a -a bezeichnet.)
A4. a+b=b+a a+b=b+a für alle a,bK a, b \in K
M1. (ab)c=a(bc) (a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) für alle a,b,cK( a, b, c \in K( Assoziativität)
D1. c(a+b)=ca+cb c \cdot(a+b)=c \cdot a+c \cdot b für alle a,b,cK a, b, c \in K (linkes Distributivgesetz).
D2. (a+b)c=ac+bd (a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot d für alle a,b,cK a, b, c \in K (rechtes Distributivgesetz).


Aufgabe b:

Sei K{0}. K \neq\{0\} . Finden Sie zwei Matrizen A,BM(2,K), A, B \in M(2, K), bei denen kein Eintrag gleich 0 ist, mit
AB=(0000) A \cdot B=\left(\begin{array}{ll} {0} & {0} \\ {0} & {0} \end{array}\right)

Avatar von
Mal ein Versuch für b):

b) ((1,-1)(-1,1)) * ((1,1)(1,1)) = ((0,0)(0,0))

1 Antwort

0 Daumen

Die Matrix-Addition ist ja einfach die Addition der Elemente. Es muss also bespw. gezeigt werden, dass a1+ (a2 + a3 ) = (a1 + a2 )+ a3.

Aber gilt das nicht sowieso, weil die Elemente aus dem Ring K stammen?

Das Nullelement ist die 2x2 Matrix, die aus den Nullelementen aus K besteht.

Analog ließe sich eigentlich zeigen, dass alle Bedingungen erfüllt sind. Ist das so zulässig?

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage