Berechnen Sie den Punkt S, in dem die Tangente den Graphen ein zweites Mal schneidet.

Question

Es ist \( f \) mit \( f(x)=x^{3}-3 x \) gegeben. Im Punkt \( P \) wird die Tangente an den Graphen von \( f \) gezeichnet.

Berechnen Sie den Punkt S, in dem die Tangente den Graphen ein zweites Mal schneidet.

a) \( P(1 \mid f(1)) \)

b) \( P(0,5 \mid f(0,5)) \)

c) \( P(3 \mid f(3)) \)

Ansatz:

Ich komme bei der Tangentengleichung auf 0 x - 8.

Answer 1

Tangentengleichung : t(x) = m*x+b

m = f '(1)

f '(x) = 3x^2-3

f '(1) = 0

P einsetzen: f(1) = 1^3-3*1 = -2

-2 = 0*1+b

b = -2

t(x) = -2

Die Tangente ist eine Parallele zur x-Achse auf der Höhe y = -2

Schnittpunkte von f(x) und t(x):

f(x) = t(x)

x^3-3x = -2

x^3-3x+2 = 0

Polynomdivision, erste Nullstelle raten: x=1

x^3-3x+2 : (x-1) = x^2+x-2

x^2+x-2 = (x+2)*(x-1) = 0

x = -2 oder x =1 (Doppelte Nullstelle bei x=1)

Weitere Nullstelle: S =(-2/f(-2)) = (-2/ -2)