Teilraum und span des Teilraums E :={x^2+1,x,x^3+x^2+x+1,x^3}

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Menge \( \mathcal{E} \subseteq \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \)

\( \mathcal{E}:=\left\{x^{2}+1, x, x^{3}+x^{2}+x+1, x^{3}\right\} \)

(a) Begründen sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass span \( (\mathcal{E}) \) ein Teilraum des Vektorraums \( \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \) ist.

(b) Beweisen sie, dass die Vektoren in \( \mathcal{E} \) linear abhängig sind.

(c) Zeigen Sie, dass \( \left\{x^{2}+1, x, x^{3}+x^{2}+x+1\right\} \subset \mathcal{E} \) ein Erzeugendensystem von span \( (\mathcal{E}) \) ist.

(d) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{span}(\mathcal{E}) \) und geben sie die Dimension von span \( (\mathcal{E}) \) an.

Answer 1

Im Raum der Polynome mit Grad kleiner gleich 4 sind eben alle Polynome von der Form a+bx+cx^2+dx^3+ex^4

Wenn du aus den gegebenen Polynomen Linearkombinationen bildest, sind sie immer von dieser Form, also ist es ein Teilraum.

b) Das erste + das 2. + das 4. ergeben das 3., also linear abhängig.

c) Dazu muss man nur zeigen, dass das fehlende sich mit den drei verbliebenen darstellen lässt. Das ist so, weil (x^3+x^2+x+1) - ( x^2 + 1 ) - x genau das fehlende x^3 ergibt.

d) Die drei verbliebenen sind lin. unabhängig, denn aus a*(x^3+x^2+x+1)  + b*( x^2 + 1 )  + c*x = 0 für alle x aus R
folgt mit Klammern auflösen und umsortieren: a=b=c=0

Da es wegen c ein Erzeugendensystem ist und linear unabhängig ist es eine Basis von Span(E) und die Dimension ist 3, weil es drei Stück sind.