erstelle einen körper ohne x²= −1

Question

Sei K ein Körper derart, dass es kein x ∈ K gibt, mit x² = −1.

Für  K x K gelte Addition und Multiplikation.

(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + b2c)

Man kürze (a, 0) mit a und man setze i = (0, 1). Man zeige, dass für
die Abbildung φ : a + bi → a − ib gilt φ(z + w) = φ(z) + φ(w) und
φ(zw) = φ(z)φ(w) für alle z, w in unserem neuen Körper K × K.

Ergänzung: Ersetzt man K = R (das Körper der reellen Zahlen), bekommt
man als Ergebnis dieser Konstruktion der Körper C der komplexen Zahlen. Die
Abbildung a + bi → a − ib heißt in diesem Fall die komplexe Konjugation und
wird üblicherweise z → z´ notiert.

Wir haben einfach keine Ahnung wo wir anfangen können. Was müssen wir wissen, um diese Aufgabe zu lösen?

Grüße!

Comments

Steht die Überschrift genau so über deiner Aufgabe?

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Nein, Du hast recht. Diese Überschrift gehört zu Teil eins dieser Aufgabe in dem erst zeigen muss, dass K mit den definierten verknüpfungen ein körper ist.

Teil 1 lautete:

Man zeige, dass K ×K mit der Addition und Multiplikation gegeben durch
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
ein Körper ist.

Gruß

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Ist mir immer noch nicht ganz klar.

Soll ich nun in der Frage etwas korrigieren, damit man besser draus kommt?

und  steht in (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + b2c)  eine 2 zu viel?

Answer 1

Man zeige, dass K ×K mit der Addition und Multiplikation gegeben durch
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
ein Körper ist.

Jetzt musst du alle Körperaxiome überprüfen.

z.B. assoziativ bei + etwa so   :  Seien  x,y,z aus KxK

und x=(a,b)  und y= (c,d)   und z= (e,f)

Dann ist   (x+y)+z

=    ( ac - bd, ad + bc ) + (e,f)

=  (   (ac-bd)*e  -  (ad+bc)*f    ,   (ac-bd)*f  +  (ad+bc)*e  )

Das musst du dann solange umformen bis     (x+y) + z

heraus kommt.

Und das für alle Axiome.

Für den Teil mit der Abbildung phi   musst du erst mal schauen,

was du die neue Schreibweise a+bi passiert.

Aus der Definition bekommst du:  mit a und b rechnet man wie

im Körper K und mit dem i hast du  i*i=-1

Nun einfach die gegebene Eigenschaft nachrechnen. Für φ(z + w) = φ(z) + φ(w)

, etwa so:   Sei z=a+bi  und w=c+di  also  z+w =  (a+c) + (b+d)i

φ(z + w)= (a+c) - (b+d)i = a-bi   +   c-di   =φ(z) + φ(w)   usw.