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Hallo Ihr Lieben,

kann mir dabei jemand helfen? Habe leider keinerlei Ansatz.. :-(

Aufgabe:

Gegeben seien ein Körper K und K-Vektorräume V und W, sowie eine K-lineare Abbildung f : V → W. Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn ker(f) = {0}.

von

Zumindest ein Anfang mit 1) hier möglich?

https://www.mathelounge.de/130299/seien-vektorraume-uber-einem-korper-eine-lineare-abbildung

Anmerkung: Eure Fragen unterscheiden sich leicht.

2 Antworten

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Aloha :)

Zu zeigen: \(f:V\to W\,,\,\vec x\mapsto F\cdot\vec x\)   ist injektiv \(\;\;\Leftrightarrow\;\;\) Kern\((F)=\{\vec 0_V\}\)

Die lineare Abbildung \(f\) werde druch eine Matrix \(F\) realisiert. Dann können wir Folgendes sagen.

Hinrichtung "\(\Rightarrow\)"

Wegen \(F\cdot\vec 0_V=\vec 0_W\) wird \(\vec 0_V\in V\) auf \(\vec 0_W\in W\) abgebildet. Daher ist \(\vec 0_V\in\mbox{Kern}(F)\). Da \(f\) nach Voraussetzung injektiv ist, wird auf jedes Element der Wertemenge höchstens ein Element der Definitionsmenge abgebildet. Es gibt daher kein weiteres Element aus \(V\), das auf \(\vec 0_W\) abbildet. Das heißt \(\mbox{Kern(F)}=\{\vec 0_V\}\).

Rückrichtung "\(\Leftarrow\)"

Wir nehmen an, es gibt 2 Elemente \(\vec x_1,\vec x_2\in V\), die denselben Funktionswert haben, dann gilt:$$f(\vec x_1)=f(\vec x_2)\;\;\Rightarrow\;\;F\vec x_1=F\vec x_2\;\;\Rightarrow\;\;F(\vec x_1-\vec x_2)=\vec 0_W$$Da nach Voraussetzung Kern\((F)=\{\vec 0_V\}\) ist, muss \(\vec x_1-\vec x_2=\vec 0_V\) bzw. \(\vec x_1=\vec x_2\) gelten. Das heißt, es gibt keine zwei verschiedenen Elemente aus \(V\), die dasselbe Bild haben. \(f\) ist also injektiv.

von 23 k
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https://www.mathelounge.de/128571/beweisen-abbildung-f-ist-injektiv-gdw-ker-f-0

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von 158 k 🚀

Hallo Lu,

da wäre es Aufgabe 1, falls du das meinst. :-)

Gut so. Danke. Dann kommst du damit ja wahrscheinlich nun klar.

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