Geben Sie eine Darstellung des Polynoms p(x)=2x^3+x−5 als Linearkombination der folgenden Vektoren an

Question

Geben Sie im Vektorraum der reellen Polynome eine Darstellung des Polynoms p(x) = 2x^3+x−5 als Linearkombination der folgenden Vektoren an:

$$ q_1(x) = 2, \quad q_2(x) = x^2+x, \quad q_3(x) = 4x^3−7, \quad q_4(x) = 3x^2+4, \quad q_5(x) = 2x^4−3x^3+1 $$

Answer 1

$$ p(x) = \frac 16 q_1+1 \cdot q_2+\frac12 q_3-\frac 13 q_4 +0 \cdot q_5 $$

Hinweise zur Lösung:

x^3 kommt bei q_{3} und q_{5} vor - bei q_{5} ist noch ein x^4 dabei, das keine andere Komponente hat, also ist das nicht kompensierbar und q5 fliegt in die Tonne.

q_{3} hat doppelt so viel x^3 wie wir brauchen, also nehmen wir die Hälfte davon.

Unpotenzierte x gibt es nur bei q_{2} - nehmen wir einmal. Das übrige x^2 geht mit ein Drittel  q_{4} wieder weg.

Bleibt nur noch soviel q_{1} zu nehmen, dass man auf -5 kommt.

Die Lernidee der Aufgabe besteht darin, die Potenzen als Dimensionen aufzufassen.

Comments

kurz mal die zuvor gezeigte Antwort überprüft:

(q1 erstmal ausgeschlossen)

 1*q2    +  (1/2)*q3    - (1/3)*q4   + 0*q5

= (x^2+x) + 1/2(4x^3-7)-1/3(3x^2+4)+0(2x^4-3x^3+1)

= (x^2+x) + (2x^3-7/2) - (x^2 + 4/3) + 0                         | -7/2 - 4/3 = -29/6

=     2x^3 + x - 29/6

(jetzt kommt q1=2 dazu)

Wir wollen auf -5 kommen, also auf -30/6. Fehlt also nur noch -1/6.

Was mit 2 multipliziert (da q1=2) ergibt -1/6 ? Richtig. -1/12

Also müsste die richtige Antwort lauten:

(-1/12)q1 + q2 + (1/2)q3 - (1/3)q4 + 0*q5

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