p(z)=2z^2+2z+1+i als Linearkombination

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie p(z)=2z^2+2z+1+i als Linearkombination der Polynome

T₀ (z)= 1

T₁ (z)= z

T₂ (z)=2z^2-1

Ich bitte um eure Hilfe, mit dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht mehr klar.

Answer 1

Hallo Diana,

die gesuchte Linearkommbination hat die Form

r • (2z² - 1) + s • z + t • 1   mit passenden r, s und t  aus ℝ

=  2·r·z^2 + s·z - r + t

aus  dem Koeffizientenvergleich bei

2r·z² + s·z - r+t   =   2·z² + 2·z + 1+i    ergibt sich direkt

2r = 2    →  r = 1

                   s = 2 

-r+t = 1+i   →  t = 1+i+r = 2+i

und damit die gesuchte Linearkombination   

1 • (2z² - 1) + 2 • z + (2+i) • 1    [ =  2z² + 2z + 1+i  ]  

Gruß Wolfgang

Comments

Dankeschön Wolfgang für deine Mühe, jetzt hab ich das sogar dank dir kappiert :)

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Kann es sein, dass sich ein kleiner Fehler da eingeschlichen hat? Muss man nicht t=1+i+r in die Gleichung einsetzen und somit wäre -r+r=0 und würde rausfallen? Heißt da würde dann statt -r+1+i+r => 1+i stehen.

Ich komme nicht drauf wie sie auf 2+i gekommen sind :) .

MFG

Answer 2

Löse die Gleichung

r*(2z²-1)+s*z+t*1=2z²+2z+1+i

indem du die linke Seite ausmultiplizierst, das Ergebnis nach Potenzen von z ordnest und einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite machst.