Monotonie Nachweis ohne Ableitung oder graphische Hilfe: f(x)=1- 1/(x+1)

Question

Beweise oder wiederlege ob f(x)=1- 1/(x+1) streng monoton steigend zwischen -unendlich und -1 und -1 und +unendlich ist, jedoch nicht auf dem ganzen Definitionsbereich.

Wie gehe ich da weiter vor? Ich weiß dass für strenge Monotonie gelten muss, dass x < y -> f(x) < f(y) nur weiß ich nicht wie ich das auf meine Fragestellung anwenden kann.

Answer 1

$$  f(x)=1- \frac 1{x+1} $$$$  f(x+h)=1- \frac 1{x+h+1} $$
$$  f(x)\lt  f(x+h) $$  oder $$  f(x)\gt  f(x+h) $$ ???

Für welche Bereich von x gilt was und h ist ziemlich winzig - so gegen Null etwa ...

Answer 2

f ( x ) = 1 - 1 / ( x +1 )

Die Funktion hat an der Stelle x = -1 eine Polstelle.

Die Monotonie kann nur getrennt für die Bereiche
] -∞ ; -1 [  und  ] -1 ; ∞ [
betrachtet werden.

f ( x ) = 1 - 1 / ( x +1 )
f ( x + h ) = 1 - 1 / ( x +1 + h )
h ist positiv

1.)
Für   ] -∞ ; -1 [  nehmen wir einmal an die Funktion sei
monoton steigend.

Damit beide beide Punkte im Bereich sind gilt
x < -1
und
x + h < -1

Dann müßte gelten.

f ( x ) < f ( x + h )
1 - 1 / ( x +1 ) < 1 - 1 / ( x +1 + h )  | + 1
- 1 / ( x +1 ) < - 1 / ( x +1 + h )  | * -1
1 / ( x +1 ) > 1 / ( x +1 + h )  | * ( x + 1 + h ) ; ( x + 1 + h ) ist negativ
1 + h /(  x + 1)  < 1
h / ( x + 1 ) < 0  | ( (+ / - )  <  0   stimmt

Die Funktion ist im Bereich   ] -∞ ; -1 [  steigend.

2.)
Für  ] -1 ; ∞ [  nehmen wir einmal an die Funktion sei
monoton steigend.

Damit beide beide Punkte im Bereich sind gilt
x > -1
und
x + h > -1

Dann müßte gelten.

f ( x ) < f ( x + h )
1 - 1 / ( x +1 ) < 1 - 1 / ( x +1 + h )  | + 1
- 1 / ( x +1 ) < - 1 / ( x +1 + h )  | * -1
1 / ( x +1 ) > 1 / ( x +1 + h )  | * ( x + 1 + h ) ; ( x + 1 + h ) ist postiv
1 + h /(  x + 1)  > 1
h / ( x + 1 ) > 0  | ( (+ / + )  >  0   stimmt

Die Funktion ist im Bereich   ] -1 ; ∞ [  steigend.

So. Umständlicher gehts wohl kaum noch.
Gehts einfacher ( ohne Ableitung ) ?