Wahrscheinlichkeit bei drei fairen Würfeln berechnen

Question

Aufgabe:

Sie werfen gleichzeitig mit drei fairen Würfeln.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel eine 6 zeigen?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Würfel eine 6 zeigt?

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel eine gerade Augenzahl zeigen?

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Würfel eine 6 zeigt?

e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der drei Augenzahlen 17 ist?

f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der drei Augenzahlen 5 ist?

Ansatz:

a-c sind eigentlich klar soweit. Nur wie ich d-f berechne, weiß ich nicht. Die Wahrscheinlichkeit bei a ist (1/6)^3

Nun würde ich intuitiv sagen das die Wahrscheinlichkeit für d = 1/6 ist, was aber nicht korrekt ist. Für e und f habe ich leider noch überhaupt keinen Lösungsansatz...

Answer 1

d) Benutze die Binomialverteilung:

P(genau einer zeigt 6) = (3 tief 1) * 1/6 *(5/6)^2 = 3 *1/6 * (5/6)^2

Die Formel kannst du so verstehen:

3 Möglichkeiten: Welcher Würfel zeigt 6?

1/6 Wahrsch. dass einer 6 zeigt.

(5/6)^2 Wahrsch. dass 2 keine 6 zeigen.

e) Augensumme 17 heisst: Wurfbilder (6,6,5), (5,6,6) oder (6.5,6) "günstige Ausfälle"

mögliche Ausfälle: 6^3

Daher P(Augensumme 17) = 3/ 6^3

f) ebenfalls die günstigen Wurfbilder abzählen: (1,1,3), ..... (1,2,2)

Ich schätze mal das da 6 "günstige Ausfälle" vorhanden sind.

Mögliche Ausfälle immer noch 6^3

Daher P(Augensumme 5) = 6/6^3 = 1/6^2 = 1/36.

Comments

Zur Binomialverteilung: Ich habe im Netz ein bisschen gelesen was genau das ist und wie sie anzuwenden ist.

Wann genau kann ich die Binomialverteilung denn anwenden? Im Netz steht: Sie beschreibt den wahrscheinlichen Ausgang einer Folge von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben, also die Ergebnisse von Bernoulli-Prozessen.

Es muss sich also um gleichartige, unabhängige Experimente handeln, die nur zwei mögliche Ergebnisse haben.

Bei meinem Würfelbeispiel habe ich aber doch nicht nur zwei mögliche Ergebnisse, sondern mehrere?

Die allgemeine Form sieht so aus:

\( P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k} \)

n = die Anzahl der Versuche. In meinem Beispiel kann ich ja die Drei Würfel in Gedanken zu einem Würfel zusammenfassen, den ich drei mal werfe, richtig?

n = 3.

Was genau sagt k = 1 denn aus?

p wiederum ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Versuch eine 6 zu erhalten, also 1/6.

Und zu guter letzt noch: Wie berechne ich denn "3 tief 1"?

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Bei meinem Würfelbeispiel habe ich aber doch nicht nur zwei mögliche Ergebnisse, sondern mehrere?

Für die Einzelereignisse sind das 2 Fälle:

Erfolg ist hier "eine 6." Das hat die Wahrsch. p=1/6

Misserfolg ist "keine 6". Das hat die Wahrsch. 1 - p = 5/6

k=1 heisst, dass genau ein Erfolg eintritt. 

"(3 tief 1)"  gibt die Anzahl einelementiger Teilmengen einer 3-elementigen Menge an.

Das sind natürlich 3. 

Allgemein zu rechnen ist das (n tief k) aus deiner Formel als n! / (k! * (n-k)!) .

In Wolframalpha schreibst du ( 3 choose 1) .