Faktorräume Körper Gleichungssystem

Question

Sei F₂ ein Körper mit zwei elementen, A∈ Mat ( 3x3; F₂) und b∈ F³_{2 .}  Zur zeigen ist das lineare gleichungssystem A*x=b genau 0,1,2,4 oder 8 lösungen in F³₂ hat.Man soll ein Beispiel für jeden Fall angeben.

Answer 1

Nenne wir die Körperelemente mal 0 und 1, wie es üblich ist.
Das LGS wird auf Stufenform (Dreiecksform) gebracht und
beim sukzessiven Auflösen kommt man immer
auf Gleichungen der Art  ax=b
Die haben entweder keine Lösung z.B. bei 0*x=1
 oder genau eine    1*x = b
oder gelten für alle Elemente von F2 wenn es z.B.   0*x=0 gibt.
Für die enzelnen Komponenten der Lösungs 3-Tupel müssen dann
jeweils die 3 Fälle diskutiert werden.

Nett ist der letzte Fall:  8 Lösungen für

               0    0   0
A   =       0   0    0

               0   0    0     

Lösungen sind alle 3-Tupel mit Komponenten ausF2

also  (000), (001) (010) (100) (110) ...  sind 8 Stück.

Wenn es einaml genau eine und zweimal "alle Elemente von F" gibt,

hat man 4 Lösungen etc.