Bestimmen Sie alle Werte t ∈ ℝ , für die das Gleichungssystem eine Lösung besitzt.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das folgende reelle lineare Gleichungssystem mit Unbestimmten \( x_{1}, \ldots, x_{6} \) und einem Parameter \( t \) :
\( \begin{aligned} 3 x_{2}-9 x_{3}+6 x_{4}-6 x_{5}+15 x_{6} &=6 t+18 \\-x_{2}+3 x_{3}-2 x_{4}+3 x_{5}-9 x_{6} &=-t-4 \\-2 x_{2}+6 x_{3}-4 x_{4}+6 x_{5}-18 x_{6} &=-2 \\ 4 x_{2}-12 x_{3}+8 x_{4}-12 x_{5}+36 x_{6} &=8 t+28 \end{aligned} \)
(a) Bringen Sie die Koeffizientenmatrix mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens auf Zeilenstufenform.
(b) Bestimmen Sie alle Werte \( t \in \mathbb{R} \), für die das Gleichungssystem eine Lösung besitzt.
(c) Bestimmen Sie in den Fällen, in denen das Gleichungssystem eine Lösung besitzt, den Lösungsraum. Geben Sie dabei auch eine Basis des Lösungsraums des zugehörigen homogenen Gleichungssystems an.

Problem/Ansatz:

Ich bin nun für a soweit gekommen:

0  1 -3  2 -2  5  2t+6

0  0  0  0  1 -4  t+2

0  0  0  0  0  0  2t+6

0  0  0  0  0  0  4t+12

Nun zu meiner Frage muss ich 2t+6 und 4t+12 auch noch zu einer 0 umwandeln um in Zeilenstufenform zu gelangen?

Answer 1

Du musst jetzt anfangen aufzulösen.

Die letzte Zeile heißt doch    0 = 4t+12

Das geht nur, wenn t=-3. Das ist die Lösung von b).

Dann klappt auch die vorletzte und

aus der davor bekommst du:

x5  -4x6 = t+2, also =-1.

Dann kannst du x6 frei wählen, etwa x6=s

und bekommst x5 = -1  + 4s

und dann bleibt nur noch die erste, da

kannst du dann x5 und x6 einsetzen und

x3 und x4 frei wählen und x2 bestimmen.

Zuletzt bleibt x1 frei wählbar.

Der Lösungsraum des homogenen Systems

wird also 4-dimensional.