Bestimmen Sie die Inverse und lösen Sie die Matrixgleichung AX = B und XB=A

Question

Es seien A =  2  1  -1                     und B =  2    0   1

-1 1   1                                  -1    1   1

3  2  -1                                 -3    2   -1

a) Bestimmen sie die Inverse A^-1

b) Bestimmen sie die Inverse B^-1

c) Lösen sie mit Hilfe der in a) und b) berechnten Inversen A^-1 und B^-1 die Matrizengleichungen

i) AX = B

ii) XB= A.

Comments

Lies vielleicht mal das hier:

http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html

Answer 1

Für A mache ich es vor und gebe die Lösung für B vor.

[2, 1, -1, 1, 0, 0]
[-1, 1, 1, 0, 1, 0]
[3, 2, -1, 0, 0, 1]

2*II + I ; 2*III - 3*I

[2, 1, -1, 1, 0, 0]
[0, 3, 1, 1, 2, 0]
[0, 1, 1, -3, 0, 2]

3*III - II

[2, 1, -1, 1, 0, 0]
[0, 3, 1, 1, 2, 0]
[0, 0, 2, -10, -2, 6]

2*I + III ; 2*II - III

[4, 2, 0, -8, -2, 6]
[0, 6, 0, 12, 6, -6]
[0, 0, 2, -10, -2, 6]

3*I - II

[12, 0, 0, -36, -12, 24]
[0, 6, 0, 12, 6, -6]
[0, 0, 2, -10, -2, 6]

Normieren

[1, 0, 0, -3, -1, 2]
[0, 1, 0, 2, 1, -1]
[0, 0, 1, -5, -1, 3]

Die Inverse ist also

[-3, -1, 2]
[2, 1, -1]
[-5, -1, 3]

i)

AX = B
X = A^{-1}*B

ii)

XB= A
X = A*B^{-1}

Comments

Von B die Inverse lautet

[0.6, -0.4, 0.2]
[0.8, -0.2, 0.6]
[-0.2, 0.8, -0.4]

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könntest du Aufgabenteil i) und ii) vielleicht noch etwas genauer erklären? Wie bist du darauf gekommen, dass aus  A*X=B        X=A^-1*B wird und aus X*B=A      X=A*B^-1?? Ich verstehehe das nicht ganz.Im Anschluss daran muss ich diese beiden X dann auch noch berechnen oder?

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AX = B 

Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung von links mit A^{-1}.

A^{-1}*A*X = A^{-1}*B 

Nun ist A^{-1}*A = E

E*X = A^{-1}*B

Und E * X = X

X = A^{-1}*B 

Damit haben wir die Gleichung nach X aufgelöst. Probiere es mit der anderen mal selber.

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Danke das andere habe ich auch hinbekommen...ich hab nur eine Frage...Es ist ja wichtig, wo bei A^-1*B   das A^-1 und wo das B steht,wenn ich die MAtrizen anderseherum miteinader multiplizieren kommt ja ein anderes Ergebnis heraus...bei ii) hast du beispielsweise das B^-1hinten stehen und bei i) das A^-1 vorne...kannst du mir erklären,warum das gerade so ist? Ich bin in Lineare Algebra ein totaler Anfänger...sorry

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Das A und das A^{-1} muss direkt nebeneinander stehen, damit es sich aufhebt. Daran sieht man ob man von links oder rechts multiplizieren muss.

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Ahh ok und bei B muss dann von rechts multipliziert werden...ich glaub dann muss ich bei ii) nochmal genau schauen wie ichs mache...danke :-)

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Und die Matrizengleichung in i) ist dann woe folgt richtig gelöst oder?

-11     3     -6

6       -1     4

-18    5     -9

??

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i)

[-11, 3, -6;
6, -1, 4;
-18, 5, -9]

Sieht richtig aus

ii)

[2.2, -1.8, 1.4;
0, 1, 0;
3.6, -2.4, 2.2]

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Ohh super vielen Dank :-)