Wie stelle ich folgende Matrixgleichung nach X um? X-A^{T}XA-B^{T}XB=CC^{T}

Question

X-A^TXA-B^TXB=CC^T 

alle Matrizen sind dabei invertierbar

Comments

Ist außer invertierbar noch was bekannt ?

womöglich orthogonale Matrizen ?

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sorry, hatte ich vergessen: X ist symmetrisch und positiv definit, C eine untere Dreiecksmatrix. Wenn es nicht geht diese Gleichung umzustellen:  ausmultiplizieren und das Gleichungssystem lösen müsste doch aber möglich sein oder (es sind 2x2 Matrizen)?

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X  -A^TXA   -B^TXB   =     CC^T    (1)

beide Seiten transponieren gibt

X^{T - (}A^TXA)^T - ( B^TXB)^T = (C * C^T ) ^T 

und beim  Transponieren eines Produktes Reihenfolge umdrehen

X^{T -} A^T X^T A -  B^TX^T B = C^T  * C

wegen symm.  ist  X^T =X also

X   ^-   A^T X A -  B^TX B = C^T  * C    (2)

Jetzt (1) - (2) dann hast du

0 =    C*C^T    - C^T *  C

und wenn C =

a    0

b   c     ist,

dann ist   C*C^T    - C^T *  C =

-b^2     ab - bc
ab-bc     b^2 

und damit das die 0-Matrix ist, muss schon mal b=0 sein,

also ist C eine Diagonalmatrix etwa

a    0

0    c

also  CC^T   =

a^2     0

0      c^2

weiter komme ich grad auch nicht.

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Warum ist (C * C^T ) ^T = C^T  * C ?

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(C * C^T ) ^T = C^T  * C ?

Ach Quatsch, da hatte ich mich vertan, sorry!

Answer 1

X-A^TXA-B^TXB=(I-A^T-B^T)X(I-A-B)=(I-A-B)^T X(I-A-B)

Comments

das verstehe ich nicht richtig: gilt nicht folgendes:

(I-A^T-B^T)X(I-A-B)=(X-A^TX-B^TX)(I-A-B)=X-A^TX-B^TX-XA+A^TXA+B^TXA-XB+A^TXB+B^TXB