Angeordneter Körper ungleichung

Question

Sei K ein angeordneter Körper. Beweisen Sie f ür   n ∈ N und x, y ∈ K mit x, y ≥ 0:

x  < y  <=> xⁿ < yⁿ   

Answer 1

x  < y  <=> xⁿ < yⁿ   

"=>" Da x,y beide >=0 sind und x<y ist jeden falls y>0.

1. Fall x=0        Dann folgt   x^n = 0 und wegen y>0   ist     y^2 > 0*y = 0   also y^2 > 0

etc. würte man allg.  mit vollst Ind. auch y^n > 0 zeigen.

2. Fall x>0  also auch y>0    

multipliziere die  Ungl    x<y  einmal von links mit x und einmal von rechts mit y, dann hast du

x^2 < xyx                   und   xy  <  y^2     wegen Transitivität von <  also  x^2 < y^2.

mit Induktion kriegst du es so auch für alle n hin.

Bei der Rückrichtung musst du einfach mit den Inversen multiplizieren.

                     

Comments

danke für die antwort, habe ich auf jedenfall verstanden.

Habe das mal mit der induktion versucht bin mir aber jedoch unsicher

IA : sollte klar sein ist also wahr

IV: x < y <=> x^n < y^n

IS: n -> n+1

x^n+1< y^n+1                       | (- y^n+1)

x^n+1 - y^n+1 < 0

(x-y)^n+1 < 0

(x-y)^n * (x-y)                         |  IV : x < y ; bzw. x-y < 0

also (x-y)^n < 0

x^n - y^n < 0

x^n < y^n

wäre das so möglich?