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Sei K ein angeordneter Körper. Beweisen Sie f ür   n ∈ N und x, y ∈ K mit x, y ≥ 0:

x  < y  <=> xn < yn   

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x  < y  <=> xn < yn   

"=>" Da x,y beide >=0 sind und x<y ist jeden falls y>0.

1. Fall x=0        Dann folgt   x^n = 0 und wegen y>0   ist     y^2 > 0*y = 0   also y^2 > 0

                        etc. würte man allg.  mit vollst Ind. auch y^n > 0 zeigen.

2. Fall x>0  also auch y>0    

     multipliziere die  Ungl    x<y  einmal von links mit x und einmal von rechts mit y, dann hast du

    x^2 < xyx                   und   xy  <  y^2     wegen Transitivität von <  also  x^2 < y^2.

mit Induktion kriegst du es so auch für alle n hin.

Bei der Rückrichtung musst du einfach mit den Inversen multiplizieren.

                     

von 152 k

danke für die antwort, habe ich auf jedenfall verstanden.

Habe das mal mit der induktion versucht bin mir aber jedoch unsicher 

IA : sollte klar sein ist also wahr 

IV: x < y <=> x^n < y^n 

IS: n -> n+1

x^n+1< y^n+1                       | (- y^n+1)

x^n+1 - y^n+1 < 0

(x-y)^n+1 < 0 

(x-y)^n * (x-y)                         |  IV : x < y ; bzw x-y < 0

also (x-y)^n < 0

x^n - y^n < 0

x^n < y^n 


wäre das so möglich? 

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