Logarithmusfunktion Aufgaben

Question

Die Logarithmusfunktion zur Basis a ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a. Begründen Sie die folgenden Eigenschaften der Logarithmusfunktion mit Hilfe der Eigenschaften der Exponentialfunktion.

1. Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion  $$ y=\log _{ a }{ (x)\quad ist\quad D={ ℝ }^{ + } }  $$

2. Der Wertebereich der Logarithmusfunktion $$ y=  \log _{ a }{ (x)\quad ist\quad W= } ℝ $$

3. Die Graphen der Logarithmusfunktion sind

für 0<a<1 monoton fallend

für a>1 monoton steigend.

Answer 1

y = log_a (x)   <==> a^y = x     

 , Basis a> 0, x> 0 aber y Element R.

Umkehrfunktion y = a^x mit a>0 hat D= R und W = R+. 

Fall 0<a<1 

y = a^x  ist stetig und streng monoton fallend. 

x1 < x2 <==> a^x1 > a^x2  <==> y1 > y2

Das gilt dann automatisch für die Umkehrfunktion: y= log_a (x).

Fall 1<a

y = a^x  ist stetig und streng monoton steigend.

x1 < x2 <==> a^x1 < ax² <==> y1 < y2

Das gilt dann automatisch für die Umkehrfunktion: y= log_a (x).