Wert der Reihe berechnen. D.h. zeigen, dass pi²/6 herauskommt.

1 Antwort

Dieser Ansatz geht auf Euler zurück.
Die Reihenentwicklung der Sinusfunktion lautet bekanntlich

\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Division durch

x

liefert

(*)\quad\frac{\sin x}x=1-\frac{x^2}6+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}.

Diese Funktion hat bekanntlich die allesamt einfachen Nullstellen

x_k=k\pi

mit

k\in\mathbb Z\backslash\{0\}

und somit die Produktdarstellung

\frac{\sin x}x=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac x{k\pi}\right)\left(1+\frac x{k\pi}\right)=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right).

Ausmultiplizieren liefert für den Koeffizienten von

x^2

nach Vergleich mit der Reihe

(*)

-\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2\pi^2}=-\frac16.

Daraus folgt

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6.

Beantwortet 18 Nov 2014 von Gast

Ein anderes Problem?