Wert einer Reihe bestimmen

Question

Aufgabe:

Wert einer Reihe bestimmen

Problem/Ansatz

Hallo zusammen,

ich soll den Wert der folgenden Reihe bestimmen: $$\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^2+3k}{(k+2)!}$$

Mein Ansatz ist: $$\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^2+3k}{(k+2)!}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^2+3k}{(k+2)(k+1)k!}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^2+3k+2-2}{(k^2+3k+2)k!}$$

Nun weiß ich aber nicht wie ich die -2 oberhalb des Bruchs wegbekomme um dann kürzen zu können.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Du bist mit dem richtigen Navi unterwegs:$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n\frac{k^2+3k}{(k+2)!}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(k^2+3k+2)-2}{(k+2)(k+1)k!}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(k+2)(k+1)-2}{(k+2)(k+1)k!}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{(k+2)(k+1)}{(k+2)(k+1)k!}-\frac{2}{(k+2)(k+1)k!}\right)=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{k!}-\frac{2}{(k+2)!}\right)$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{2}{(k+2)!}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\sum\limits_{k=2}^{n+2}\frac{2}{k!}$$$$\phantom{S_n}=\left(\frac1{0!}+\frac1{1!}+\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k!}\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{2}{k!}+\frac{2}{(n+1)!}+\frac{2}{(n+2)!}\right)$$$$\phantom{S_n}=\frac1{0!}+\frac1{1!}-\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k!}-\frac{2}{(n+1)!}-\frac{2}{(n+2)!}$$$$\phantom{S_n}=\frac2{0!}+\frac2{1!}-\left(\frac1{0!}+\frac1{1!}+\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k!}+\frac{2}{(n+1)!}+\frac{2}{(n+2)!}\right)$$$$\phantom{S_n}=4-\sum\limits_{k=0}^{n+2}\frac{1}{k!}-\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}$$Mit \(e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\) sind wir fertig:$$S_{\infty}=4-\sum\limits_{k=0}^\infty\frac1{k!}-0-0=4-e$$

Answer 2

Hallo

dein Ansatz ist gut, einfach den ersten Teil kürzen, den bleibt -2/(k+2)! das kannst du durch Indexverschiebung auf -2/k! ändern und dann direkt abziehen oder die 2 summen bestimmen.

Gruß lul

Comments

einfach den ersten Teil kürzen

Da studiert jemand jahrelang Mathematik - und dann so was

---

Hallo Gast hj

ich freu mich über Verbesserungen, aber mal wieder sehe ich nicht  warum man den ersten Teil nicht zu 1/K! kürzen soll?

irgendwie find ich deine Hilfen gut, deinen Sarkasmus nervig.

lul

---

Du hast Recht, ich entschuldige mich.

---

*** Gelöscht *** \(\;\;\;\;\)

---

na ja, erfindet ja auch Fehler, von denen ich nicht frei bin.

lul