Wert der Reihe berechnen. D.h. zeigen, dass pi^2/6 herauskommt.

Question

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \)

wie berechne ich hier die Werte dazu ? kann man das zeigen oder benutzt man  für diesen Fall einfach nach "Basler Problem"

und übernimmt einfach das Ergebnis

danke schon mal

EDIT (Lu): Überschrift dem Kommentar angepasst.

Werte der folgenden Reihe berechnen

Comments

Hi,

meinst Du auf Konvergenz oder Divergenz überprüfen?

Ich meine du siehst schnell, dass die Reihe gegen 0 konvergiert

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ich möchte die Werte bestimmen

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Ahso. Da muss ich selber überlegen, wie man das berechnen kann. Ich bin leider noch Schüler.

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Was meinst Du mit: wie berechne ich hier die Werte dazu ? kann man das zeigen oder benutzt man  für diesen Fall einfach nach "Basler Problem"? und übernimmt einfach das Ergebni?

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Was soll das heißen "die Werte bestimmen"?

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Frag ich mich auch

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das pi^2/6 herauskommt

wert bestimmen

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wert bestimmen

das pi^2/6 herauskommt

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Bitte vollständige Sätze formulieren, das wird doch wohl möglich sein!

Ist ∑(1/n^2) bekannt?

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Puuuuuhhhh das ist zuuuuuu schwer für mich..aber vielleicht hilft dir dieser Link:

http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

Ist aber auf Englisch. Schau mal ab der Seite 11

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haha :)

nein ist nicht bekannt sonst würde ich auch nicht fragen

Answer 1

Dieser Ansatz geht auf Euler zurück.
Die Reihenentwicklung der Sinusfunktion lautet bekanntlich$$\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$Division durch \(x\) liefert$$(*)\quad\frac{\sin x}x=1-\frac{x^2}6+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}.$$Diese Funktion hat bekanntlich die allesamt einfachen Nullstellen \(x_k=k\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\backslash\{0\}\) und somit die Produktdarstellung$$\frac{\sin x}x=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac x{k\pi}\right)\left(1+\frac x{k\pi}\right)=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right).$$Ausmultiplizieren liefert für den Koeffizienten von \(x^2\) nach Vergleich mit der Reihe \((*)\)$$-\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2\pi^2}=-\frac16.$$Daraus folgt$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6.$$