Überführen Sie die Matrix A in die normierte Zeilenstufenform. Machen Sie dabei angewandte Zeilenumformungen kenntlich.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die folgende Matrix

\( A=\left[\begin{array}{rcccc} 1 & -2 & 7 & 4 & 7 \\ 2 & -6 & 18 & 10 & 16 \\ -1 & -4 & 5 & 4 & 3 \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{3,5} \)

a) Überführen Sie die Matrix \( A \) in die normierte Zeilenstufenform. Machen Sie die dabei von Ihnen angewandten elementaren Zeilenumformungen kenntlich.

b) Bestimmen Sie Kern \( (A) \) sowie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(A) \).

c) Bestimmen Sie \( \operatorname{Bild}(A) \) sowie eine Basis von \( \operatorname{Bild}(A) \).

Answer 1

Erst mal 3.Zeile + 1.Zeile und dann 2. Zeile  +  (-1)*1.Zeile
gibt
1   -2    7   4    7  
0  -2    4    2    2
0   -6   12  8   10
Dann 3.Zeile + (-3)*2.Zeile  gibt

1   -2    7   4    7  
0  -2    4    2    2
0   0    0    2    4 

also Kern f   :   Damit in der letzten Gleichung 0 rauskommt, kannst du x5
beliebig wählen, also x5=s dann muss 2x4 + 4s = 0 sein, also
x4=-2s  und x5 = s sein,
Dann kann aber x3 beliebig sein, also etwa x3=t gibt mit der 2. Gl.
-2x2  +  4t  +2(-2s) + 2s = 0      x2 = -s + 2t 
und mit der 1.
x1 -2(-s+2t)   +  7t +  4*2s +7s= 0    also   x1 = 3t+13s
also Kern, alle Vektoren der Art    (3t+13s  /  -s+2t  /   t   /   -2s /   s  )  mit t,s aus IR


=  (13s  /  -s  /   0   /   -2s /   s  ) +   (3t  /  2t  /   t   /   0 /   0  )
= s* (13  /  -1  /   0   /   -2 /   1  ) +   t*(3  /  2 /   1   /   0 /   0  )
und diese beiden Vektoren (hinter s bzw. t) bilden eine Basis von Kern f.

Alle Vektoren in Bild f kannst du erzeugen mit der 1. und der 2. und der 4. Spalte
der umgeformten Matrix. Die drei Bilden also eine Basis für Bild f.