Funktion 4. Grades. Nullstellen von fk(x)=(1/9)x^4-x²-(k/9)x²+k k≥0 aus ℝ

Question

:)

fk(x)=(1/9)x⁴-x²-(k/9)x²+k    k≥0 aus ℝ

Ich habe für die Nullstellen:

x=√k  x=-√k   x=3 sowie x=-3

Ich soll jetzt hierzu eine geeignete Fallunterscheidung durchführen. Welche Fälle muss ich denn hier bearbeiten?

Stimmen die Nullstellen überhaupt

LG

Simon

Answer 1

Man kann (1/9)x⁴-x²-(k/9)x²+k umformen zu

1/9 (9-x^2) (k-x^2)

Hier kann man die Nullstellen ablesen.

x1 = 3, x2 = -3, x3 = √k und x4 = -√k.

Fall k>0 und k=9: 4 Nullstellen.

Fall k= 9: 3 Nullstellen.

Fall k=0: 3 Nullstellen.

Vielleicht soll ja das das Ziel der Fallunterscheidung sein.

Comments

Danke, also hat das auf jeden Fall etwas mit der Diskriminante zu tun?

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Schau am bestem mal hier: https://www.mathelounge.de/92631/nullstellen-ganzrationaler-funktionen-mit-parameter-fk-x²

Dort war die Fragestellung etwas präziser.

Answer 2

"

funktion 3. grades - nullstellen "

fk(x)=(1/9)x⁴-x²-(k/9)x²+k    k≥0 aus ℝ

1. -> das ist VIERTEN Grdes  .. oder?

2. -> hast du das richtig aufgeschrieben ?

ODER heisst es vielleicht ->  fk(x)=(1/9) x⁴ - x^3  - (k/9) x² + k    k≥0 aus ℝ

Comments

Nein, ich habe alles richtig und sauber aufgeschrieben. Zudem könnte ich bei deiner Version ja keine Nullstellen bestimmen ohne den Parameter zu kennen ;)

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gut ..
dann kannst  du das  aber gleich so schreiben:

  fk(x)= (1/9) x⁴ - (1  - k/9) * x^2  + k 

-> und dann stimmen auch deine oben notierten vier Nullstellen

nebenbei:
vier, denn auch für k= 0 hast du dann ja eine "Doppelnullstelle"

ok?

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Gut, aber ich wollte ja eher auf die Fallunterscheidung hinaus, die die Aufgabe fordert.

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also nochmal:

vier Nullstellen , denn auch für k= 0 hast du dann ja eine sogenannte "Doppelnullstelle"

( für k=0 liegt halt auch ein Extremum bei dieser Nullstelle)

.

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Das ist alles schön und gut.

Aber:

k≥0 aus ℝ

Außerdem muss die Fallunterscheidung etwas mit den Nullstellen zu tun haben, von Extrema ist in der Aufgabe nichts verlangt.

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->

1. -> für k>0 bekommst du VIER verschiedene Nullstellen 

2. -> für k= 0  sieht f so aus: -> f(x) = 1/9 x^4 - x^2 

f(x) = 0 -> 

1/9 x^4 - x^2  = 0 .. ODER ->  x^4 - 9 x^2 = 0

also:

x^4 - 9 x^2 = x * x * (x+3) * (x-3) = 0

jeder der vier Faktoren kann 0 sein =>x1= - 3 ; x2=x3 = 0 ; x4=+3

du hast vier Nullstellen, wobei zwei bei x=0 sind 

und wenn du dir den Graph von f(x) = 1/9 x^4 - x^2  zeichnest,

siehst du, was bei dieser "Doppel-Nullstelle x=0 passiert..

ok?

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Gut, danke. Gar nicht immer so einfach mit den Fallunterscheidungen.

Answer 3

Hallo Simon, 

die Nullstellen  stimmen,Fallunterscheidung  für k>0, k=0  mehr geht ja nicht nach der Bedingung .

Comments

@Akelei:

Danke für die Antwort, jedoch weis man aus der Aufgabenstellung ja, dass k≥ 0 ist.

Das irritiert mich ein wenig. Kann es sein, dass man die Fallunterscheidung in Bezug auf die Diskriminante durchführen muss?