Volumen von Rotationskörper berechnen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen.

lg

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Wenn Du nicht mit Integralen rechnen möchtest, könntest Du den Körper zerlegen.

Das gesuchte Volumen des grauen Rotationskörpers ist das des rotierenden Rechtecks ABCF minus des weißen Körpers.

Das Rechteck ergibt rotierend einen Zylinder,  dessen Volumen leicht zu berechnen ist.

Die weiße Fläche danach zerlegen in Rechteck und Dreieck. Das ergibt dann einen weiteren kleineren Zylinder und einen Kegel, dessen Volumen man auch mit einer Formel berechnen kann.

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Dunkannst natürlich auch anders zerlegen, z.B. ABCF minus FGC plus EDG (jeweils rotiert).

Answer 1

Wenn das Rechteck ABCF rotiert, entsteht ein Zylinder,

Wenn das Trapez CFED rotiert, entsteht ein Kegelstumpf. Dann berechnet man Zylindervolumen minus Kegelstumpfvolumen.

TAN(50°) = GK/2.5 --> GK = 2.979

TAN(40°) = 1.2/GH --> GH = 1.430

HK = 2.979 - 1.430 = 1.549

V = pi·2.5^2·4 - 1/3·pi·(2.5^2 + 2.5·1.2 + 1.2^2)·1.549 = 61.20 cm³

Answer 2

\(\displaystyle V =  \underbrace{2 \pi \int \limits_{0}^{2,5} x\cdot\left(4-1,3 \cdot \tan \left(50^{\circ}\right)\right) \; \text{d}x}_{\text{unterer Teil}} \\\\\\ +\;  \underbrace{2 \pi \int \limits_{1,2}^{2,5} x\cdot\overbrace{\left(\frac{1,3 \cdot \tan \left(50^{\circ}\right)-0}{2,5-1,2} \cdot (x-1,2)\right)}^{\text{Zweipunkteform}} \; \text{d}x}_{\text{oberer Teil}} \\\\\\ \approx 61,2 \)