Question

Wie viele reelle Lösungen hat sin(sin(sin(sin(sin(x))))=x/3? Also festzustellen, dass x=0 eine Lösung ist und, dass alle Lösungen in [-3,3] liegen ist kein Problem. Wie könnte man dann genau fortfahren?

Comments

Mir fällt dazu der Zwischenwertsatz ein. Vielleicht hilft dir das weiter.

Dass man die Gleichung nicht nach x umstellen kann, sollte klar sein.

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Ich denke neben 0 noch eine bei a und -a (da die funktion punktsymmetrisch ist).

Idee: sin(x) ist konkav und auf (0,1) monoton, dann bleibt sie mit einer weiteren konkaven Funktion geschachtelt immer noch konkav usw. Somit kann es mit der Geraden y = x/3 nur einen Schnittpunkt geben. So etwa sollte es gehen…

Answer 1

sin(x) liegt zwischen -1 und 1.

sin(sin(x)) liegt dann zwischen (ca.) -0,84 und 0,84

sin(sin(sin(x))) liegt dann zwischen (ca.) -0,75 und 0,75

usw.

Die Nullstellen sind die gleichen, und auch die geschachtelten Sinusfunktionen haben an der Stelle 0 den Anstieg 1.

x/3 hat nur den Anstieg 1/3, also schneidet die lineare Funktion die verschachtelte Sinusfunktion nochmal innerhalb der ersten positiven "Halbwelle" und punktsymmetrisch dazu noch einmal im negativen Bereich.