Allgemeingültige Formel aus Wertepaaren erstellen, Addition von 25/26

Question

ich bin kein Schüler und kein Mathe-Ass. Ich komme leider alleine nicht weiter und würde mich sehr über Antworten freuen:)

Ich benötige eine allgemein gültige, möglichst einfache Formel.
Die betreffende Zahlenreihe lautet:

x           54              56              58              60              62                64           ..........
y           54              ~56,08       ~58,08        ~60           ~61,85         ~63,63     ..........


Wie Sie sehen, starte ich mit 1/26tel von 54 (=~2,08) und fahre dann jeweils mit der Addition von 25/26 der vorrangegangenen Differenz fort. (Kann man das so sagen??)
Die Sache geht natürlich gegen unendlich.

Comments

wie meinst du das mit der vorangegangenen Differenz,

rechne das doch für die ersten Zahlen mal ausführlicher vor,

zu welchem Wert wird denn jeweils das (1/26) von wem ?

addiert ?

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Ich hatte mich verschrieben und auf 25/ 26 korrigiert.

54                    56               58

54              ~56,08     ~ 58,08           25/26 von 2,08 = ~2-----deshalb ~56,08+2~58,08

dann mit Differenz 2:

25/26*2 =......+ 58,08               usw

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Habe leider echt Schwierigkeiten, euch mein Problem nahezubringen...

Update:

x           y                   Differenz          Rechnung

54       54                                                                                                   Feststehend

56       ~56,08          ~ 2,08              54 + 2,08                                      Feststehend

58      ~58,08           ~ 2,00              56,08+(25/26)*2,08

60        ~60,00         ~ 1,92              58,08+(25/26)*2

62        ~61,85        ~ 1,85               60,00+(25/26)*1,92

Etwas verständlicher??

Answer 1

Hi,
wenn die Gesetzmäßigkeit so erhalten bleibt ergibt sich
$$ y_{i+2}=y_{i+1}+\frac{25}{26}\left(y_{i+1}-y_i\right)  $$
mit den Anfangswerten \( y_0=54 \) und \( y_1=56.08 \)

Comments

Hallo. Könnten Sie mir sagen, wie ich da jetzt meinen x-Wert einsetze um y zu bekommen?? Sehe so etwas zum ersten mal:(

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Mit \( y_i \) bezeichnet man den i-ten Wert von y an der Stelle \( x_i \)

Also z.B. \(y_0=y(x_0)=y(54)=54 \)

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Ich bin wirklich kein Mathematiker. Es ist mir ein wenig unangenehm, aber könnten Sie mir anhand Ihrer Formel einmal den genauen Rechenweg für z.B. das Einsetzen des Wertes y=60 demonstrieren?

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Hi,
ich denke Du meinst \( x=60 \) oder?
Also die Nummerierung fängt bei \( i=0 \) an. \(x = 60 \) steht an der \( i\text'ten=3'ten \) Stelle. Also gilt nach der Formel
$$ y_3=y(x_3)=y(60)=y_2+\frac{25}{26}(y_2-y_1)= $$

$$ 58.08+\frac{25}{26}(58.08-56.08)=58.08+\frac{25}{26}\cdot 2=60.003 $$
Also bis auf die zweiten Stelle stimmt das Ergenis.

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ich verstehe es nun richtig, dass ich das Ergebnis x über vorher errechnete Ergebnisse x ("i-te Stelle) bestimme? Das bedeutet doch, dass ich nach dieser Formel eine "Kettenrechnung" anstellen muss. Um z.B. den Wert für x=72 herauszubekommen, muss ich zunächst alle Werte ab x=56 (?) errechnen. Leider handelt es sich dann nicht um das, was ich als "allgemeine Formel" bezeichnen würde. Ich benötige eine Formel, in die ich z.B. x=986 einsetzen kann, ohne alle "i-ten" Stellen davor herausbekommen zu müssen.
Müsste doch möglich sein?

Ich beschäftige mich nun schon sehr lange mit diesem Problem. Der Ansatz den ich hatte, war, eine andere (vereinfachte) Schreibweise für x^1 + x^2 + x^3 +..... zu finden. Leider konnte mir hier Google nicht helfen.

Mit freundlichem Gruß
Benjamin

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Hi,
Ich habe mal Dein Bildungsgesetz genommen und dann die ersten 4 y-Werte ausgerechnet und bin auf folgendes gekommen.
$$ y_0=54 $$
$$ y_1=54\left( 1+\frac{1}{26} \right) $$
$$ y_2=54\left[ 1+\frac{1}{26}\left( 1+\frac{25}{26} \right)  \right] $$
$$ y_3=54\left [ 1+\frac{1}{26}\left( 1+\frac{25}{26}+\left(\frac{25}{26}\right)^2 \right) \right] $$
Das ergibt allgemein den Ausdruck
$$ y_n=54\left[ 1+\frac{1}{26}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{25}{26}\right)^k \right] $$
Das ist eine geometrische Reihe die man ausrechnen kann und man erhält
$$ y_n=54\left[ 2-\left( \frac{25}{26} \right)^n \right] $$
Hier bei entspricht \( n=0 \) der Stelle \( x=54 \) und \( n=1 \) der Stelle \(x = 56 \)
D.h. es gilt \( x=2n+54 \) also \( n=\frac{x-54}{2} \)
Damit kann man die Funktion \( f(x) \) wie folgt definieren
$$  f(x)=54\left[ 2-\left( \frac{25}{26} \right)^{\frac{x-54}{2}} \right] $$
und über diese Funktion kannst Du alle Werte Deiner Folge errechnen, auch für beliebige \( x \)
Aus der Grafik kannst Du erkennen, dass es eine gute Übereinstimmung gibt.

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Vielen
Sie machen mich sehr glücklich:)

Die Formel scheint absolut korrekt. Nun eröffnet sich natürlich für mich leider ein weiteres Problem:
Ich benötige die Formel auch für die Berechnung sehr großer Zahlen. In meinem Versuch verwendete ich eben z.B. x = 18278. Sobald ich hier " 2 - 6.19744e-156" berechnen möchte, lande ich natürlich bei " 2 ".
Wie kann man mit solch hohen x-Werten rechnen? Ich nehme doch an, dass bei dem Wert y=108 noch nicht Schluss ist!

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OK. Hat sich erledigt. Geht nicht über 108. Vielen, vielen Dank nochmal:)

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genau,der Term \( \left( \frac{25}{26} \right)^{\frac{x-54}{2}} \) konveriert gegen \( 0 \) wenn \( x\to \infty \) geht. Damit ist die obere Schranke \( 108 \)

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Ich benötige eine höhere "Schranke"(?). D.h., der Wert von 108 ist zu gering. Er sollte bei dem 1000fachen liegen. Durch Änderung welches Teils in der Formel f(x)=54[2-(25/26)^{(x-54)}/2)] könnte ich eine derartige Vergrößerung der Spanne und Hinaufsetzung der Schranke logisch erwirken?

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Das versteh ich nicht. Aus den Daten ergibt sich keine höhere Schranke. Soll die Schranke höher sein, hat man auch andere Faktoren als \( \frac{10}{26} \) oder \( \frac{25}{26} \) oder einen anderen Startwert als \( 54 \).