Question

Wenn man von einer zweistelligen, natürlichen Zahl ihre Quersumme subtrahiert, dann ist das Ergebnis durch 9 teilbar.

$$n={10^k}_{ak}+10^{k-1}a_{k-1}+\ldots+{10^2}_{a_2}+10a_1+a_0$$

Bei einem allgemeinen Beweis müsstest du von der Dezimaldarstellung ausgehen. Und dann genügt es nachzuweisen, dass 10^m - 1 für alle natürlichen Zahlen m durch 9 teilbar ist. Das beweist man gewöhnlich durch Vollständige Induktion aber wie ich weiß leider nicht wie ich das damit beweisen soll ?

Answer 1

sei die Zahl $n$ in der Form

$n = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i$

gegeben. Zieht man von $n$ ihre Quersumme $q$ ab, so ergibt sich

$n - q = \sum_{i=0}^{k} a_i (10^i - 1)$.

Nun ist zu zeigen, dass $10^i - 1$ immer durch $9$ teilbar ist, da eine Summe aus durch $9$ teilbaren Zahlen durch $9$ teilbar ist. $n - q$ ist eine solche Summe.

Sei also $i = 0$. Dann ist $10^0 - 1 = 0$ durch $9$ teilbar.

Für $i = 1$ ist $10^1 - 1 = 9$ ebenso durch $9$ teilbar.

Sei nun $10^i - 1$ durch $9$ teilbar. Dann ist

$10^{i+1} - 1 = 10 \cdot 10^i + 9 - 10 = 10(10^i - 1) + 9$.

Da die letzten beiden Summanden durch $9$ teilbar sind, ist auch ihre Summe durch $9$ teilbar und der Beweis ist abgeschlossen.

Mister