Kann mir einer bei den Aufgaben helfen?

Question

zeigen sie

a) w×v=-v×w  ∀v,w ∈Κ³

b) w×v ⊥αw+βv ∀v,w ∈ Κ³, α,β∈Κ

c) det (u,v,w)=0⇔u,v,w sind linear abhängig

Comments

Bei a) Definition vom Vektorprodukt benutzen,
bei b) Skalarprodukt benutzen.

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sollte ich bei b) die definition von skalarprodukt benutzen ? und was ist mit c) ??? :)

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Über c) habe ich nicht nachgedacht und bei b) kannst Du die Orthogonalität durch Nachrechnen mit dem Skalarprodukt zeigen.

Answer 1

Ist  das  x   das Kreuzprodukt (bzw. Vektorprodukt) von Vektoren aus K3 und so definiert:

mit v = (v1,v2,v3) und w=(w1,w2,w3) ist

w x v  =   ( w2*v3-w3*v2  ;   w3*v1 - w1*v3 ;   w1*v22  -  w2* v1 )

dann machst du das gleiche mit -v x w und siehst: gleiche Ergebnisse, also fertig.

Bei nimmst du  von    ( w2*v3-w3*v2  ;   w3*v1 - w1*v3 ;   w1*v22  -  w2* v1 ) das
SKALARprodukt mit (a*w1+b*v1,  a*w2+bv2 ,  a*w3 + b*v3 )  (a,b statt alpha beta)
das sieht  so aus
( w2*v3-w3*v2 )* (a*w1+b*v1)  +  (        )*(........) +  ( .......)( .........)  
alles ausrechnen und zusammenfassen gibt am Ende Null.
Und Skalarprodukt = 0 heißt senkrecht !

du kannst nachrechnen   det(u,v,w) =  (u x v ) *  w    ( * ist das Skalarprodukt )
nun ist ja  u x v senkrecht auf u und auf v  und wegen Skalarprodukt = 0
ist w dann senkrecht zu u x v also eine Linearkombination von u und v

Comments

wenn ich das selbe mit -vxw mache, dann kommt doch -vxw= (-v2*w3+v3*w2-v3+w1+v3*w1-v1*w2+v2*w1) raus oder?

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-vxw= (-v2*w3+v3*w2-v3+w1+v3*w1-v1*w2+v2*w1) raus oder?

Das ist doch ein Vektor mit drei Komponenten

(-v2*w3+v3*w2     ;   -v3+w1+v3*w1   ;    -v1*w2+v2*w1)

und wenn du das vergleichst mit

( w2*v3-w3*v2  ;   w3*v1 - w1*v3 ;   w1*v22  -  w2* v1 )

siehst du, dass es genau das (-1)-fache ist.

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also ist das richtig was ich raus hab ?

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Nein, das ist nicht richtig. Das Ergebnis des Vektorprodukts muss ein Vektor sein!