Drei Tennisbälle sind in einem zylinderförmigen Behälter. Wie viel des Raumes bleibt leer?

Question

Volumenberechnung: Drei Tennisbälle sind in einem möglichst kleinen zylinderförmigen Behälter eingepackt. Wie viel des zu Verfügung stehenden Raums bleibt dabei leer?

für eure Hilfe!!

Answer 1

Zur Lösung der Aufgabe stellst du allgemein die Volumenformel für den Zylinder auf und die Volumenformel der kugelförmigen Bälle. Zuerst hilft eine Skizze (Seitenansicht des Zylinders mit innenliegenden Kugeln):

Volumen Zylinder: V_Z = π·r²·h

Volumen einer Kugel: V_K1 = (4/3)·π·r³

Wir haben 3 Kugeln also: V_K = 3·(4/3)·π·r³ = V = 4·π·r³

Leervolumen V_L = V_Z - V_K

V_L = π·r²·h - 4·π·r³

Jetzt wissen wir zusätzlich, dass h = 6·r ist, setzen wir dies ein:

V_L = π·r²·(6·r) - 4·π·r³

V_L = 6·π·r³ - 4·π·r³

V_L = 2·π·r³

Das Leervolumen ergibt sich demnach aus V_L = 2·π·r³

Comments

Es fehlt der Nachweis, dass dieser Zylinder kleiner ist, als ein solcher, der die Höhe eines Tennisballes hat und in dem die Bälle in Form eines gleichseitigen Dreiecks liegen.

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Nein, denn die Aufgabe besagt: "in einem möglichst kleinen zylinderförmigen Behälter". Dort steht nicht "in dem kleinstmöglichen" zylinderförmigen Behälter. Daher besteht hier durchaus die freie Wahl. 

Aber nichtsdestotrotz ein interessanter Hinweis. Vielleicht erbringst du als Zusatz den Nachweis?

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Wenn man den Durchmesser des "Stapelzylinders" vergrößert, kann die Höhe reduziert werden. Können dabei kleinere Stapelzylinder als der mit dem geraden Stapel entstehen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Theorie_der_endlichen_Kugelpackungen