Vektoren x_{1} und x_{2} spannen Parallelogramm auf. Welche Dimension hat der Vektorraum V mit dem Erzeugendensystem?

Question

Die Vektoren \( x_{1} \) und \( x_{2} \) spannen ein Parallelogramm auf (vgl. Skizze).

(i) Welche Dimension hat der Vektorraum \( V \) mit dem Erzeugendensystem:

\( E=\left\{x_{1}+2 x_{2},-x_{2}-\frac{1}{2} x_{1}\right\} ? \)

(ii) Geben Sie eine Basis für \( V \) an.

(iii) Sind \( x_{1} \) und \( x_{2} \) Vektoren von \( V \)?

Answer 1

auf dem Bild siehst du:  x1 und x2 sind nicht parallel also lin. unabh.
x1 + 2x2   =             -2(- x2 -0,5x1)   also ist x1 + 2x2  ein Vielfaches von - x2 -0,5x1
deshalb kann alles was mit E erzeugt wird, auch mit nur dem ersten Vektor von E erzeugt werden
und dieser ist nicht ull, alo lin. unabh bildet also allein eine Basis von V.

weder x1 noch x2 sind in V, denn sie sind ja keine Vielfachen von x1 + 2x2

Comments

Was ist denn dann genau die Basis und die Dimension? Basis nur der erste Vektor in E und Dimension somit 1?

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genau so ist es