Basis einer direkten Summe

Question

Es seien K ein Körper, U und V zwei K-Vektorräume und I und J zwei Mengen. 

(u_i)_i∈I  ein System von Vektoren u_i  ∈ U

(v_i)_j∈J  ein System von Vektoren v_j  ∈ V

Man betrachte das System : (w_k)_k∈I∪J   von Vektoren in U ⊕ V mit:

w_k =      | (u_k,0)  falls k ∈ I

             |(0,v_k)    falls k ∈ J

Zeigen Sie: Das System (w_k)k∈I∪J  in  U ⊕ V st ein linear unabhängiges System/ein Erzeugendensystem/
eine Basis genau dann, wenn die beiden Systeme (u_i)_i∈I  und (v_i)_j∈J die entsprechende
Eigenschaft bezüglich U respektive V haben.

Ich verstehe nur Bahnhof :S