Beweise - Lineare Algebra - Direkte Summe, Unterraum, Dim

Question

Aufgabe 1:

Sei T: V → V ein linearer Operator mit T²= Id ( T ist ivolutorisch). Seien

U₁ = { v  ∈ V | T(v) = v } und U₂ = { v ∈ V | T(v) = - v }

Zeige:    V = U₁ ⊕ U₂ 

Hinweis: v = \( \frac{1}{2} \)  ([ v+ T(v)] + [v-T(v)])

Aufgabe 2: 

 Seien T und V wie in Aufgabe 1. Gilt dim(V)=n, so bestimme man eine Basis β von V, sodass

[T]β = \( \begin{pmatrix} Ik & 0 \\ 0 & -In-k \end{pmatrix} \)

DANKE !

Answer 1

Zu zeigen ist zunächst:  Für jedes v ∈ V gibt es ein  x ∈ U1 und ein y ∈ U2

mit v=x+y..   Sei also v∈V:

Beachte den Tipp und wähle x= 0,5 * v+ 0,5 T(v)

Dann gilt wegen der Linearität

T(x) = 0,5*T(v)  + 0,5*T(T(v))  wegen des Invulutorischen

        =  0,5*T(v)  + 0,5*v =  x , also gilt  x ∈ U1 .

Entsprechend mit y = 0,5 * v - 0,5 T(v) hast du y ∈ U2 .

Nun fehlt noch U1 ∩ U2 = {0} .

Sei also u ∈  U1 ∩ U2 , dann gilt :

T(u) = u und T(u) = -u also   #

0 = T(u) + T(u) = T(2*u) = 2*T(u)

==>  T(u) = 0

mit # folgt u=0.