Koordinatenform einer Parabelgleichung in Polarform umwandeln.

Question

wie stelle ich y = 13x² + 4 in Polarform dar?

LG

Comments

y = 13x² + 4 

ist eine Parabelgleichung. EDIT: Überschrift deinem Kommentar angepasst.

Eine quadratische Gleichung wäre: 0 = 13x² + 4 . Sollst du diese Gleichung 0 = 13x² + 4 in C lösen?

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Ja, entschuldige bitte. Ich meine eine Parabelgleichung in Polarform

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Wenn du den Brennpunkt berechnen kannst, sollte es eigentlich damit gehen: http://www2.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/Vorlesungen/Vektorrechnung/Folien_Parabel.pdf

Answer 1

Wenn man den Graphen der Funktion y=f(x) als Spur (Ortslinie) der Vektorspitze V von Ursprung aus abgetragen betrachtet, kann man für jeden Winkel einen Radius definieren:

$$r(\phi)= \sqrt{f^2(cos \phi)+\cos^2 \phi }$$

Das klappt nur nicht bei jeder Funktion - aber immerhin bei einigen und auch oft nur im ersten Quadranten problemarm.

EDIT:
einiges gelöscht wegen Fehlern - berichtige gleich ...

Comments

Wie sehe das in meinem Fall aus?

y = 13x² + 4

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$$ y = 13x² + 4  $$
$$ r = \sqrt{(13 \cos\phi  + 4)^2+cos^2 \phi  }$$
$$ r = \sqrt{169 \cos^2\phi  + 26 \cos\phi+16+cos^2 \phi  }$$
$$ r = \sqrt{170 \cos^2\phi  + 26 \cos\phi+16  }$$
$$ \vec V(\phi)= r \cdot \begin{pmatrix} sin \phi\\\cos \phi\end{pmatrix}$$

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Danke sehr!

https://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3Dsqrt%28170cos%C2%B2%CF%95%2B26cos%CF%95%2B16%29

WA spuckt mir dann sowas raus, hmm ...

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ich hab mich schon wieder verrechnet - sorry

ich kanns auch nicht mehr editieren - zu spät ...

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$$r=\sqrt{y^2+x^2}$$
$$ y = 13x² + 4  $$$$ x =r \cdot cos \phi  $$$$ r = \sqrt{(13\,  r^2 \cos^2\phi  + 4)^2+r^2 \, cos^2 \phi  }$$
$$ r = \sqrt{169 \, r^4\cos^4\phi  + 104 \, r^2 \cos^2\phi+16+ r^2 \,\cos^2 \phi  }$$
$$ r = \sqrt{169 \, r^4\cos^4\phi  + 105 \, r^2 \cos^2\phi+16  }$$
$$ r^2 = 169 \, r^4\cos^4\phi  + 105 \, r^2 \cos^2\phi+16  $$
$$ 0 = 169 \, r^4\cos^4\phi  + 105 \, r^2 \cos^2\phi-r^2+16  $$
$$ 0 = 169 \, r^4\cos^4\phi  +  r^2\,(  105\cos^2\phi-1)+16  $$
$$z=r^2$$
$$ 0 =  z^2 \,169 \,\cos^4\phi  +  z\,(  105\cos^2\phi-1)+16  $$
$$ z_{1,2} = \frac{ 1-105\cos^2\phi\pm\sqrt{(  105\cos^2\phi-1)^2-4\cdot  \,169 \,\cos^4\phi \cdot 16}}{2 \cdot\,169 \,\cos^4\phi }  $$
$$ z_{1,2} = \frac{ 1-105\cos^2\phi\pm\sqrt{( 105\cos^2\phi)^2 -210\cos^2\phi+1-64\cdot  \,169 \,\cos^4\phi }}{2 \cdot\,169 \,\cos^4\phi }  $$
$$ z_{1,2} = \frac{ 1-105\cos^2\phi\pm\sqrt{209 \,\,\cos^4\phi  -210\cos^2\phi+1  }}{338 \,\cos^4\phi }  $$
$$ r_{1,2,3,4} = \pm\sqrt{\frac{ 1-105\cos^2\phi\pm\sqrt{209 \,\,\cos^4\phi  -210\cos^2\phi+1  }}{338 \,\cos^4\phi } } $$
$$ \vec V(\phi)= r \cdot \begin{pmatrix} sin \phi\\\cos \phi\end{pmatrix}$$

Angaben ohne Gewähr ...

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Vielen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3Dsqrt%28%281-105*cos%C2%B2%28alpha%29%2Bsqrt%28209*cos%5E4%28alpha%29-210*cos%C2%B2%28alpha%29%2B1%29%29%2F%28338*cos%5E4%28alpha%29%29

Das sieht schon hübscher aus für eine Lösung.

Irgendwie habe ich einfach keinen Durchblick was diese Polarfunktionsgleichungen angeht.

Heißt das jetzt man kann mit 4 Polrarfunktionen die Parabel darstellen?

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hier bekommen wir kein reelles r ...
vielleicht mal mit einer Parabel testen, die auch reelle Lösungen hat.
Oder ich habe mich wieder verrechnet.

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$$ r_{1,2,3,4} = \pm\sqrt{\frac{ 1-105\cos^2\phi\pm\sqrt{209 \,\,\cos^4\phi  -210\cos^2\phi+1  }}{338 \,\cos^4\phi } } $$
$$\vec V(\phi)= r \cdot \begin{pmatrix} \cos \phi\\\sin \phi\end{pmatrix}$$

stimmt doch - ich habs nur in meine Programm falsch eingetippt. Und den verwechselten sin/cos hab ich jetzt auch richtigrum.

Wegen der fehlenden Nullstelle gibt es nur einen ganz kleinen Bereich des Winkels, wo die Wurzeln definiert sind. Deswegen hab ich auch erst gedacht, da kommt nix reelles raus.

Answer 2

y = 13x² + 4

Vermutlich möchtest du einen Winkel a und eine Länge r mit

x = r * cos(a)   und y = r * sin (a)   und das r und das a wären dann die Polarkoordinaten.

dann wäre tan(a) = y/x = (13x^2 + 4)/x  =  13x + 4/x  also a= arctan( 13x + 4/x ) und a=pi/2 für x=0.

und r = wurzel(x^2 + y^2) = wurzel ( x^2 + (13x^2 + 4 )^2 ).

War es das ?

Comments

Danke.

Nein, nicht die Polarkoordinaten, sondern eine Polarform der Parabelgleichung.

Ich gebe dir das Beispiel einer linearen Gleichung:

y = 13x + 4

x = r * cos(a)   

y = r * sin (a) 

Es gilt dann für:

y = 13x + 4

r * sin (a) = 13( r * cos(a) ) + 4

r * sin (a) - 13( r * cos(a) ) = 4

r* (sin (a) - 13 cos(a)) = 4

r =  4/ (sin (a) - 13 cos(a))

https://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot+r%3D4%2F%28sin%28alpha%29-13cos%28alpha%29%29+

Das wäre dir Polare Darstellung der linearen Gleichung.

Und das möchte ich jetzt auch für quadratische Gleichungen anwenden können.

Ist das irgendwie möglich?