Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden mit dem Graphen von f in Abhängigkeit von k an.

Question

Am anfang ist die Funktion y=f(x)=2x²*e^(0,5x)) gegeben.
Lokale Extrempunkte berechnen. Erste Ableitung bilden.
Punkte davor und danach einsetzen.
Vermutliche Extrempunkte


Die lautete bei mir f'(x)=4xe^(0,5x)+x²e^(0,5x)
(Ungekürtzt= f'(x)=4xe^(0,5x)+(2x²*0,5*e^0,5x))
DB=(x E R)
WB=(y E R⁺)
Sx(0;0)
Sy (0;0)
Nullsetzen 1.Ableitung
Ex₁ (0;0) x=0 davor x=-0,1 ; danach x=0,1
Ex₂ (-4;0) x=-4 davor x=-4,1 ; danach x=-3,9
GTR genutzt,
Für Ex1 kam heraus (0,1; 0,02) u (-0,1; 0,019) --> Minimum
Für Ex2 kam heraus (-3,9; 4,32) u (-4,1;4,32) --> Maximum
Wir sollten keine 2.Ableitung machen
Und jetzt steht da auf einmal:
"Die Gerade mit der Gleichung y = k (k E R) schneidet den Graphen der Funktion f.
Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte dieser Geraden mit dem Grapen von f in Abhängigkeit von k an."
Ich weiß bis jetzt nur, dass ich 2x²*e^(0,5x) = k setzen muss.
Wie macht man das dann weiter?

Answer 1

Ich weiß bis jetzt nur, dass ich 2x²*e^(0,5x) = k setzen muss.
Wie macht man das dann weiter?

y = k ist eine Paralle zur x-Achse
2x²*e^(0,5x) = k
e^{0.5*x} = ist variabel aber immer ein positiver Wert.
ich nenne den Wert einmal z.
2x^2 = k / z
x^2 = k / ( 2z )
x = ± √  ( k / ( 2z ) )
Eine Wurzel kann nur aus einem positivem Wert gezogen werden.
Deshalb gilt :
k < 0 : kein Schnittpunkt ( Die Gerade k ist unterhalb der x-Achse )
k = 0 : 1 Schnittpunkt von f und y = k
k > 0 : 2 Schnittpunkte von f und y = k . ± √

mfg Georg

Comments

Es gibt aber nur einen einzigen k-Wert, so dass der Graph von f genau zwei gemeinsame Punkte mit der Geraden hat.

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Der Graph von f liegt in y >= 0

k ist negativ, 0 oder positiv

k negativ : kein Schnittpunkt
0 : 1 Schnittpunkt
positiv : 2 Schnittpunkte

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Durch Wiederholung wird die falsche Antwort nicht richtiger

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Es tut mir leid.
Es ist dir leider nicht gelungen mir mitzuteilen
was du überhaupt meinst.
Gerade so einem Genie wie du es bist müßte es
doch relativ leicht fallen sich klar auszudrücken.

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Der k-Wert, von dem ich oben sprach, ist  k = 32/e² .

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Die Gerade mit der Gleichung y = k (k E R) schneidet den
Graphen der Funktion f.  Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen
Punkte dieser Geraden mit dem Grapen von f in Abhängigkeit von k an."

Der k-Wert, von dem ich oben sprach, ist  k = 32/e² .

Wie kommst du auf den k-Wert ?
Bitte laß dir nicht alles scheibchenweise aus deiner Nase ziehen
und erklär dich einmal komplett.

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Wie kommst du auf den k-Wert ?

einfach x₂ einsetzen

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Ich habe keine Lust in einen Endlosdialog mit dir zu treten.
Stelle bitte eine eigene Antwort hier ein damit
der Fragesteller die deiner Meinung nach richtige Antwort bekommt.

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Also ich bedanke mich für die Antwort von Georgborn. Denn die Aufgabe ist ein Teil eines Abiturs und es kam schon des öfteren vor, dass die ein oder andere Aufgabe vom Grundkurs nicht gelöst werden konnte. Bin mal überrascht was meine Klassenkameraden so raushaben, ob es die hälfte wieder vergessen hat?
Na ja egal.

Ich frage morgen die Lehrerin, wie Sie die Aufgabe gelöst bzw. welchen Lösungsweg sie akzeptiert.
Aber ich glaube das Georgborn die richtige Lösung bzw. den richtigen Tipp gab.

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Grundsätzlich lag ich mit meiner Einschätzung schon
gar nicht einmal so schlecht.

k kann laut Aufgabenstellung negativ, 0 oder positiv sein
( der andere Kommentator hat für k nur den Funktionswert
des Extrempunkts ( -4  | 32 /e^2 ) angenommen. Dies ist
falsch )

k negativ : kein Schnittpunkt , da es keinen Funktionswert im Wertebereich gibt.
0 : 1 Schnittpunkt. Stimmt.

positiv : 2 Schnittpunkte

Stimmt nicht so ganz. Ich habe mir die Funktion zeichnen
lassen. dann sieht man
E ( -4  | f ( -4 ) )
x = 0 .. f ( -4 ) : 3 Schnittpunkte
x = f ( -4 ) : 2 Schnittpunkte
x > f ( -4 ) : 1 Schnittpunkt

Wieso kann ich leider nicht herleiten. Wenns im Unterricht besprochen
wird wirst du es ja erfahren.

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( der andere Kommentator hat für k nur den Funktionswert
des Extrempunkts ( -4  | 32 /e² ) angenommen. Dies ist
falsch )

Bitte genauer lesen !

Ich habe gesagt, dass  k = 32/e²  der einzige k-Wert ist, bei dem der Graph von f mit der Geraden y = k  genau zwei gemeinsame Punkte hat. Und das ist richtig, ganz im Gegensatz zu deiner trotz Fehlerhinweis wiederholt geäußerten falschen Ansicht, dass das für alle k>0 der Fall wäre.

In deiner Aufzählung oben soll es übrigens links sicherlich k statt x heißen.

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ganz im Gegensatz zu deiner trotz Fehlerhinweis wiederholt
geäußerten falschen Ansicht,

Leider gelang es dir nicht mir deine Gedanken näherzubringen.

In deiner Aufzählung oben soll es übrigens links sicherlich k statt x heißen.

Stimmt.

Und wenn du jetzt noch etwas Positives tun willst dann sag bitte wie man auf

k > 0 und

k < f ( -4 )  : 3 Schnittpunkte
k = f ( -4 ) : 2 Schnittpunkte
k > f ( -4 ) : 1 Schnittpunkt 

kommt.

Answer 2

Ist es nicht einfacher?
Nach der vorangegangenen Untersuchung gilt:

k < 0 = Min: kein Schnittpunkt,
k = 0 = Min: ein Schnittpunkt,
0 = Min < k < Max: drei Schnittpunkte,
k = Max: zwei Schnittpunkte und
Max < k: ein Schnittpunkt.

Hier soll ja nichts berechnet werden, sondern vorangegangenes interpretiert.

Comments

Mich würde interessieren : konntest du deine
Aufstellung  so hinbekommen ohne die Skizze
gesehen zu haben ?

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Ich habe mir zwar die Skizze angesehen, die jeweiligen Anzahlen der Schnittpunkte ergeben sich aber allein aus der Kenntnis der beiden Extrempunkte und dem globalen Verlauf der Kurve. Also aus den gleichen Informationen, die auch zum händischen Erstellen der Skizze benötigt werden und die vorher ermittelt wurden.

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Der Fragesteller schrieb.
Wir sollten keine 2.Ableitung machen 

Die jeweiligen Anzahlen der Schnittpunkte ergeben sich aber allein aus
der Kenntnis der beiden Extrempunkte und dem globalen Verlauf der Kurve.

Der Fragesteller hat die Extrempunkte berechnet hat aber keine Untersuchung
des globalen Verlaufs durchgeführt. Informationen zu lim x -> ±∞ wurden nicht
angegeben.

In Richtung - ∞ kommt noch ein Wendepunkt und die Funktion geht gegen null.

Nach +∞ geht es nach +∞ . Es hätte auch auf dieser Seite noch ein Wendepunkt
mit Grenzwert z.B. 2.5 kommen können wodurch sich eine andere Anzahl
von Schnittstellen ergeben hätte.

Letzter Nachtrag : ich sehe gerade der Fragesteller hat den Wertebereich
mit WB=(y E R⁺) angegeben. Daraus hätte man vielleicht  x -> ∞ gleich ∞
schließen können ( vielleicht ).
Allerdings hatte ich mir die Berechnungen des Fragestellers nicht so genau
angesehen.

Schönen Dank für deinen Beitrag.