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Seien v1=(2,0,1), v2=(3,0,-1), v3=(4,1,-2), v4=(-1,1,3) aus R^3

Bestimmen Sie eine Basis von

span({v1,v2}) ∩ ({v3,v4})
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Könntest du noch präziser beschreiben, was span({v1,v2}) ∩ ({v3,v4}) meint.

Ich nehme an, dass da 2 Ebenen durch den Ursprung miteinander geschnitten werden, da v1,v2 und v3,v4 paarweise linear unabhängig sind.

Die Schnittmenge ist vermutlich eine Gerade, ausser die Ebenen fallen zufällig zusammen. Du müsstest als nur einen Richtungsvektor dieser Geraden angeben, wenn du eine Basis des aufgespannten Raumes angibst.

Die beiden Ebenengleichungen erhält man folgendermassen.

v1=(2,0,1), v2=(3,0,-1),v3=(4,1,-2),v4=(-1,1,3) aus R3

Normalenvektoren n und m als Kreuzprodukt der angebenen Vektoren

v1 x v2 = n = ( 0| 2+3| 0) = (0|5|0) oder verkürzt (0|1|0)

Daraus Ebenengleichung in Koordinatenform E1: y = 0

v3 x v4 = m  = (3+2| 2-12| 4 +1) = (5|10|5) verkürzt (1|2|1)

Ebenengleichung E2: x + 2y + z = 0.

Schnittmenge von E1 und E2:

y = 0                     (I)

x+2y+z = 0         (II)

(I) in (II) einsetzen

x = -z

Also allgemein (-z |0| z) z aus IR und man kann als Basisvektor zB. (1|0|-1) wählen.

Ich hoffe, du verstehst den Lösungsweg. Rechne va die Kreuzprodukte noch sorgfältig nach und korrigiere bei Bedarf.

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