Drehmatrix und Projektionsmatrix bestimmen

Question

Gegeben ist diese Drehmatrix:
$$ R=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} {4} & {-4} & {7} \\ {8} & {1} & {-4} \\ {1} & {8} & {4} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie die Drehachse der Matrix, d.h. die Menge aller \( x \in \mathbb{R}^{3}, \) für die \( R x=x \) gilt.

Für eine Projektionsmatrix gilt \( P \cdot P=P . \) Bestimmen Sie \( \alpha \) und \( \beta, \) so dass diese Matrix diese Eigenschaft erfüllt:
$$ P=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {\alpha} & {-1} \\ {\beta} & {-2} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie die Projektionsebene der Matrix, d.h. die Menge aller \( x \in \)
\( \mathbb{R}^{3}, \) für die \( P x=x \) gilt.

Kann mir jemand zeigen wie man das löst/ was rauskommt?

Answer 1

naxhst du den Ansatz R*x=x

also R*x-x=0
und verwendest die Einheitsmatrix E (mit 1en in der Diag sonst Nullen)

R*x - E*x = 0
(R-E)*x = 0
Das gibt ein Gl.syst. mit x1  x2  x3 hinter dem "gleich" alles Nullen
und der Matrix

-5/9      -4/9    7/9
8/9       -8/9     -4/9
1/9       8/9       -5/9
Jetzt erst mal alles |*9 und dann auf Stufenform gibt z.B.

1    -1    -0,5
0    1     -1/2
0     0      0
An der letzten Gleichung siehst du:  x3 frei wählbar etwa x3=t
dann einsetzen gibt    x2=0,5t
x1= t
also sind die x-Vektoren von der Art   (t  ;  0,5t   ;  t) =  t*(1  ; 0,5;   1)

geom. Deutung:  Das sind alle Punkte auf der Geraden durch Nullpu. mit Richtung (1  ; 0,5;   1)

zu 2) Rechne einfach aus P*P gibt (mit x,y statt alpha beta
x*y+9       x             -x-4
y              x*y+4        1-y
0                0                1
dann vergleichst du mit P
x*y+9=3
x=x
-x-4=-1
y=y
x*y+4=-2
1-y=-1
und siehst für x=-3 und y=2 stimmen sie überein.

und P*x=P machst du wie bei 1)
und bekommst
( 1-3/2s-1/2t   ;   0   ;   0   )
sind die gesuchten Ortsvektoren der Punkte in der Projektionsebene

kannst natürlich auch 1  - 3/2 x2   -  1/2 x3   = x1
oder      -2x1     -  3x2       -    x3      =    -1  
schreiben, sieht mehr nach Ebenengleichung aus,

Answer 2

Hi,
bei Aufgabe (a) ist ja die Gleichung \( Rx=x  \) zu lösen. Das entspricht einem Eigenvektor \( x \) von \( R \) zum Eigenwert \( \lambda=1 \). Wende also alle von dort bekannten Methoden an.

Bei (b) muss zuerst die Matrix bestimmt. Danach ist wieder ein Eigenvektor zum Eigenwert \( 1 \) zu bestimmen.

Die Matrix bestimmt sich ja aus der Gleichung \( P^2=P \). Also muss man \( P^2 \) ausrechnen und erhält damit 9 Gleichungen, die alle erfüllt sein müssen. Es gilt
$$ P^2=\begin{pmatrix}  \beta \alpha+9 & \alpha & -\alpha-4 \\ \beta & \beta \alpha +4 & 1-\beta \\  0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Daraus liest man sofort ab, \( \alpha=-3 \) und \( \beta=2 \). Jetzt muss noch geprüft werden, ob bei den anderen Gleichungen die erfüllt sein müssen keine Widersprüche auftreten.