(G,+) sei eine abelsche Gruppe

Question

Sei (G,+) eine abelsche Gruppe. Bezeichne End(G):=⟨f/f:G→G ist ein Homomorphismus⟩

+: End(G) *End(G)→End(G) sei definiert durch (f+g)(x):=f(x)+g(x).

a) Zeigen Sie, dass tatsächlich f+g ∈End(G)

b) Zeigen Sie,dass (End(G),+,°) ein Ringe mit  1 ist, wobei ° die Komposition von Abbildungen bezeichne

c) Zeigen Sie, dass (End(Z₂ *Z_2,+,°)) weder kommutativ noch nullteilerfrei sind.

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass tatsächlich f+g ∈End(G)

seien f,g aus End(G),

dann gilt für alle z1, z2 aus G   f(z1+z2) = f(z1) + f(z2)  [Hom-Eigenschaft]

also   (f+g)(z1+z2) = f(z1+z2)+g(z1+z2)   [Def von +]

=    (   f(z1) +f(z2)   )+  (  g(z1)    +g(z2)      )          [f,gbeide Hom]

=    (   f(z1) +g(z1)   )+  (  f(z2)    +g(z2)      )    wegen ass und Kom in G  abelsch! hier wichtig!

=           (f+g)(z1) +  (f+g)(z2)      [ 2 x Def von +]

also Hom-Eigenschaft auch für f+g nachgewiesen.

b) Zeigen Sie,dass (End(G),+,°) ein Ringe mit  1 ist, wobei ° die Komposition von Abbildungen bezeichne

musst du alle Ringaxiome nachweisen und 1 ist die identische Abbildung

id : G ------>  G   mit  id(x) = x   für alle x aus G

musst du natürlich zeigen:  Das ist auch ein Hom und somit aus End(G).

c) Zeigen Sie, dass (End(Z2*Z2,+,°)) weder kommutativ noch nullteilerfrei sind.

Der Nullendomorphismus ist der, der alle Paar auf (0,0) abbildet.

Sei nun f der Endom. mit f(1,0) = (0,1) und f(a,b)=(0,0) sonst.
Das ist wirklich einer (muss man zeigen)
Dann ist f*f(1,0)= f( 0,1) = (0,0) und für die anderen Paare
ist eh immer (o,o) das Ergebnis, also f*f=0 und f ungleich 0,
also f Nullteiler.

und es sind in End(z2*z2) auch
f mit
(0,0)  → (0,0)
(0,1)  -----> (1,0)
(1,0) -----> (0,1)
(1,1) ----->  (1,1)

g mit
(0,0)  → (0,0)
(0,1)  -----> (0,1)
(1,0) -----> (0,1)
(1,1) ----->  (0,0)

dann ist f*g
(0,0)  → (0,0)
(0,1)  -----> (1,0)
(1,0) -----> (1,0)
(1,1) ----->  (0,0)
und g*f
(0,0)  → (0,0)
(0,1)  -----> (0,1)
(1,0) -----> (0,1)
(1,1) ----->  (0,0)
also f*g ungleich g*f