0 Daumen
1,6k Aufrufe

Ich bin auf der Suche nach einer Funktion +: G x G -> G, so dass + auf G nicht assoziativ ist, aber die drei anderen Axiome von einer abelschen Gruppe erfüllt. Kann mir da jemand helfen?


Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
Ich habe es mal mit einer Menge G mit 3 Elementen a;b;c probiert.
Wenn man + mit der folgenden Tabelle definiert
        +                           a               b                 c

a                             a              b                 c

b                             b              a                 b

c                            c               b                 a

klappt es, glaube ich.

Kommutativ ist klar wegen der Symmetrie der Tabelle zur Hauptdiagonalen.

neutral ist a, weil in der Zeile hinter dem a bzw. in der Spalte unter dem a

die gleichen Werte stehen wie im Tabelleneingang.

Jedes El. hat ein inverses, es ist nämlich jedes zu sich selbst invers.

Aber   (b+b)+c = a+c = c im Gegensatz zu

         b + (b+c) = b +b = a    Also nicht assoziativ.

Avatar von 287 k 🚀

cool danke, bin gar nicht auf die idee gekommen, das mit hilfe einer tabelle zu machen. kann man das auch ohne tabelle hinschreiben? also die menge wäre ja {a,b,c}, aber wie würde die operation lauten?

Da musst du alles einzeln angeben, etwa so:

Die Operation + wird definiert durch     a+a=a    a+b=b    a+c =c   etc.

aber müssen nicht in jeder zeile sowohl a,b und c stehen? weil in der zweiten 2mal b steht

Das ist wohl gerade der Pfiff, damit es nicht assoziativ ist.

habs jetzt mit 4 elementen gemacht:

+ a b c d

a a c d b

b c a b d

c d b a c

d b d c a


das sollte doch auch passen?

Welches ist denn dein neutrales Element ?

a                       

In deiner Tabelle ist aber a+b=c, wenn a neutrales Element wäre,

dann müsste a+b=b sein !

+ a b c d

a a b c d

b b a d c

c c d a b

d d c b a


und so?

ich glaube so geht es,

du musst dann nur ein Beispiel für die

Ungültigkeit des assoziativgesetzes finden

ok danke :)    

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community