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Untersuchen Sie, ob die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{1}=0 \) und \( a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) wohldefiniert und konvergent ist. Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

wie untersuche ich diese Folge auf Konvergenz und wie zeigt man ob die Folge wohldefiniert ist?

Danke für die Hilfe

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Hi,
Du musst Monotonie und Beschränkheit zeigen, dann konvergiert die Folge
(1) Beschränktheit
Beh. \( a_n < 1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)
Es gilt \( a_1 = 0 < 1 \). Es gelte jetzt \( a_n < 1 \) dann folgt
$$ 4-3a_n > 1  $$ also $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3a_n}<1  $$Damit gilt \( a_n < 1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

(2) Monotonie
Es gilt \( a_2=\frac{1}{4}>a_1=0 \)
Es gelte \( a_{n+1} \ge a_n \) zu zeigen ist, dass auch \( a_{n+2}\ge a_{n+1} \) gilt.
Es gilt \( 4-3a_{n+1} \ge 4-3a_n \) und wegen \( 4-3a_{n+1} >1 \) gilt auch
$$ a_{n+2}=\frac{1}{4-3a_{n+1}} \ge \frac{1}{4-3a_{n}}=a_{n+1}  $$
Also ist die Folge monoton wachsend und damit insgesamt konvergent.

Der Grenzwert berechnet sich aus
$$ x=\frac{1}{4-3x}  $$ zu \( x_1=1 \) und \( x_2=\frac{1}{3} \)
Da die Folge strikt kleiner \(1 \) ist, folgt \( x_2=\frac{1}{3} \) ist der Grenzwert.

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