Konvergenz von Reihen mit geometrischer Summenformel

Question

Hi, habe diese Aufgabe erhalten und muss herausfinden ob die Reihe konvergent oder divergent ist:

$$\sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 5\sqrt [ 3 ]{ 81k }  }{ 2\sqrt [ 5 ]{ k² }  }  }$$

Also beim ersten Blick denke ich eher, dass die Reihe gegen 0 konvergiert, weil der Nennergrad größer ist als der Zählergrad. Also divergieren wird die Reihe schonmal nicht meine ich.

Naja, im Tutorium haben wir das ganze immer mit der geometrischen Summenformel berechnet:

$$\sum _{ k=m }^{ \infty  }{ { q }^{ k } } =\quad \frac { { q }^{ m } }{ 1-q } ,\quad m\quad \ge \quad 0$$

Bisher war das auch ganz leicht umformbar...Nur weiß ich nun nicht wie ich nun zu q^k umformen kann, da k in der Basis steht............

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Answer 1

das hier hat nicht mit der geometrischen Summenformel zu tun, das k ist ja nicht im Exponenten.

Deine reihe ist von der Form \( \sum_k a \cdot \frac{1}{k^x}\) wobei a,x relle Zahlen sind.

Es gibt ein Kriterium an x wann solche Reihen konvergent sind.

Das Trivialkriterium erledigt das Sache hier aber auch sehr schnell.