Gegeben sei der Vektorraum \( V=\left\{A \in \mathbb{R}^{2,2} \mid A\right. \) obere Dreiecksmatrix \( \} \) und die Menge \( \mathscr{M} \subseteq V . \) Die konkrete Menge \( \mathscr{M} \) finden Sie im Applet.
a) Wählen Sie eine Teilmenge \( \mathscr{B}_{1} \) aus \( \mathscr{M} \) aus, sodass \( \mathscr{B}_{1} \) eine Basis von \( V \) bildet.
Um zu zeigen, dass sich jede Matrix \( \left[\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & c\end{array}\right] \in V \) sich durch die Matrizen aus \( \mathscr{B}_{1} \) erzeugen lässt, schreiben Sie \( \left[\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & c\end{array}\right] \) als Linearkombination der Matrizen in \( \mathscr{B}_{1} \)
Entscheiden Sie, ob \( \mathscr{B}_{1} \) linear abhängig oder unabhängig ist.
Wählen sie \( \mathscr{B}_{1} \) so, dass eine weitere Basis von \( V \) aus den verbleibenden Matrizen für b) ausgewählt werden kann.
b) Wählen Sie eine Teilmenge \( \mathscr{B}_{2} \) aus \( \mathscr{M} \) aus, sodass \( \mathscr{B}_{2} \) eine Basis von \( V \) bildet.
Um zu zeigen, dass sich jede Matrix \( \left[\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & c\end{array}\right] \in V \) sich durch die Matrizen aus \( \mathscr{B}_{2} \) erzeugen lässt, schreiben Sie \( \left[\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & c\end{array}\right] \) als Linearkombination der Matrizen in \( \mathscr{B}_{2} \)
Entscheiden Sie, ob \( \mathscr{B}_{2} \) linear abhängig oder unabhängig ist.
Bemerkung: \( \mathscr{B}_{1} \) und \( \mathscr{B}_{2} \) dürfen nicht die gleichen Matrizen enthalten, d.h., es gilt \( \mathscr{B}_{1} \cap \mathscr{B}_{2}=\emptyset \). Es kann also jede Matrix nur einmal(!) ausgewählt werden.
Basis und Erzeugendensystem im VR der Matrizen
\( V=\left\{A \in \mathbb{R}^{2,2} \mid\right. \text { Aobere Dreiecksmatrix\} } \)
\( M=\left|\left[\begin{array}{ll}-2 & 2 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}-4 & 4 \\ 0 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}-2 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}0 & -1 \\ 0 & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}-4 & 6 \\ 0 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]\right| \subseteq \mathrm{V} \)
